Schnittwinkel zweier Geraden

Oberstufe

\tan(\gamma) = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|

Voraussetzung: $m_1 \neq m_2,$ $m_1 m_2 \neq -1$

$\gamma$: Schnittwinkel der beiden Geraden, zwischen 0° und 90°
$m_1$: Steigung der ersten Geraden
$m_2$: Steigung der zweiten Geraden

Der Schnittwinkel zweier Geraden folgt aus ihren Steigungen; er ist immer der spitze Winkel zwischen ihnen.

Die Geraden mit den Steigungen m₁ = 0,5 und m₂ = 3 schneiden sich unter dem Winkel γ = 45°

Erklärung

Schneiden sich zwei Geraden, entstehen zwei Paare von Winkeln, die sich zu $180^\circ$ ergänzen. Als Schnittwinkel $\gamma$ nimmt man den kleineren, also einen Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ . Dafür sorgt der Betrag in der Formel.

Die Formel folgt aus den Steigungswinkeln: Mit $\tan(\alpha_1) = m_1$ und $\tan(\alpha_2) = m_2$ liefert das Additionstheorem des Tangens

\tan(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\tan \alpha_2 - \tan \alpha_1}{1 + \tan \alpha_1 \tan \alpha_2} = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}

Ausnahmen:

$m_1 m_2 = -1$ : Die Geraden sind orthogonal, $\gamma = 90^\circ$ . Der Nenner wird $0$ , die Formel ist nicht anwendbar.
$m_1 = m_2$ : Die Geraden sind parallel und schneiden sich nicht (oder sind identisch).
Ist eine Gerade senkrecht, hat sie keine Steigung. Dann rechnet man mit $\gamma = 90^\circ - |\alpha|$ , wobei $\alpha$ der Steigungswinkel der anderen Geraden ist. Gleichwertig gilt $\tan(\gamma) = \frac{1}{|m|}$ mit der Steigung $m$ der anderen Geraden (bei $m = 0$ : $\gamma = 90^\circ$ ).

Beispiele

Die Geraden mit $m_1 = 0{,}5$ und $m_2 = 3$ :

\tan(\gamma) = \left|\frac{3 - 0{,}5}{1 + 0{,}5 \cdot 3}\right| = \frac{2{,}5}{2{,}5} = 1 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 45^\circ

Die Geraden mit $m_1 = 2$ und $m_2 = -1$ :

\tan(\gamma) = \left|\frac{-1 - 2}{1 + 2 \cdot (-1)}\right| = \left|\frac{-3}{-1}\right| = 3 \quad\Rightarrow\quad \gamma \approx 71{,}57^\circ

Zur Kontrolle über die Steigungswinkel: $\alpha_1 \approx 63{,}43^\circ$ und $\alpha_2 = -45^\circ$ . Ihr Unterschied ist $108{,}43^\circ$ , der spitze Winkel also $180^\circ - 108{,}43^\circ = 71{,}57^\circ$ .

Typische Fehler

Den Betrag weglassen: Mit vertauschten Steigungen kommt $\frac{0{,}5 - 3}{1 + 3 \cdot 0{,}5} = -1$ heraus, also $-45^\circ$ . Ein Schnittwinkel ist nie negativ.
Den stumpfen Winkel angeben: Bei der Rechnung über Steigungswinkel ist $108{,}43^\circ$ noch nicht das Ergebnis; der Schnittwinkel ist $71{,}57^\circ$ .
Die Formel bei orthogonalen Geraden anwenden: Bei $m_1 m_2 = -1$ wird durch $0$ geteilt; der Winkel ist dann $90^\circ$ .

Schnittwinkel zweier Geraden