Steigung aus zwei Punkten

Mittelstufe

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Voraussetzung: $x_1 \neq x_2$

$m$: Steigung der Geraden durch beide Punkte
$x_1, y_1$: Koordinaten des ersten Punkts P₁(x₁ | y₁)
$x_2, y_2$: Koordinaten des zweiten Punkts P₂(x₂ | y₂)

Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte ist der Höhenunterschied geteilt durch den Unterschied in x-Richtung.

Steigungsdreieck zwischen P₁(1 | 2) und P₂(4 | 8), die Steigung ist m = 6/3 = 2

Erklärung

Kennt man zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ einer Geraden, bekommt man ihre Steigung als Quotient zweier Differenzen: Im Zähler steht, wie stark sich die y-Werte ändern ( $\Delta y$ ), im Nenner, wie stark sich die x-Werte ändern ( $\Delta x$ ). Das entspricht einem Steigungsdreieck zwischen den beiden Punkten.

Wichtig ist, dass oben und unten in derselben Reihenfolge subtrahiert wird: beide Male „Punkt 2 minus Punkt 1“ oder beide Male umgekehrt.

Die Punkte müssen verschiedene x-Werte haben ( $x_1 \neq x_2$ ). Sonst liegen sie senkrecht übereinander, der Nenner wird $0$ , und die Gerade durch sie hat keine Steigung (sie ist keine Funktion).

Beispiele

Steigung der Geraden durch $P_1(1 \mid 2)$ und $P_2(4 \mid 8)$ :

m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Steigung der Geraden durch $A(-2 \mid 5)$ und $B(2 \mid -1)$ :

m = \frac{-1 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-6}{4} = -1{,}5

Die Steigung ist negativ, die Gerade fällt also.

Typische Fehler

Oben und unten in verschiedener Reihenfolge subtrahieren: $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ liefert das falsche Vorzeichen. Bei $A$ und $B$ oben käme $\frac{-6}{-4} = 1{,}5$ heraus statt $-1{,}5$ .
x- und y-Differenz vertauschen: $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ ergibt den Kehrwert der Steigung. Merkhilfe: „Höhe durch Breite“, also y oben.
Minus mal Minus übersehen: $2 - (-2) = 4$ , nicht $0$ .

Steigung aus zwei Punkten