Logarithmusfunktion

Oberstufe

f(x) = \log_b(x)

Voraussetzung: $x > 0,$ $b > 0,$ $b \neq 1$

$b$: Basis des Logarithmus
$x$: Eingabewert, muss positiv sein
$f(x)$: Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um x zu erhalten

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion b^x und nur für positive x definiert.

Graph von f(x) = log₂(x) durch (1 | 0) und (2 | 1); grau die Exponentialfunktion 2ˣ, gespiegelt an der Geraden y = x

Erklärung

Die Logarithmusfunktion zur Basis $b$ beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss man $b$ potenzieren, um $x$ zu erhalten? Sie ist die Umkehrfunktion von $x \mapsto b^x$ . Ihr Graph entsteht aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch Spiegeln an der Winkelhalbierenden $y = x$ .

Eigenschaften:

Sie ist nur für $x > 0$ definiert, weil $b^y$ immer positiv ist. Die y-Achse ist eine Asymptote.
Der Graph geht immer durch $(1 \mid 0)$ und $(b \mid 1)$ . Die einzige Nullstelle ist $x = 1$ .
Für $b > 1$ steigt der Graph, aber immer langsamer; für $0 < b < 1$ fällt er.

Wichtige Sonderfälle sind der natürliche Logarithmus $\ln x = \log_e x$ und der Zehnerlogarithmus $\lg x = \log_{10} x$ . Jede andere Basis lässt sich darauf zurückführen: $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ .

Beispiele

\log_2 8 = 3, \qquad \log_2 0{,}5 = -1, \qquad \lg 1000 = 3, \qquad \ln 5 \approx 1{,}61

Bei der Basis $b = 0{,}5$ fällt der Graph: $\log_{0{,}5} 4 = -2$ , denn $0{,}5^{-2} = 4$ .

Bei $f(x) = \ln(x - 2)$ muss das Argument positiv sein: $x - 2 > 0$ . Der Definitionsbereich ist also $x > 2$ .

Typische Fehler

Null oder negative Zahlen einsetzen: $\log_2 0$ und $\ln(-3)$ gibt es nicht.
Den Logarithmus einer Summe aufteilen: $\log_2(8 + 8) = \log_2 16 = 4$ , nicht $\log_2 8 + \log_2 8 = 6$ .
Beim Definitionsbereich nur $x > 0$ notieren, obwohl das Argument verschoben ist, wie bei $\ln(x - 2)$ .

Logarithmusfunktion