Quadratische Funktion

Erklärung

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Damit überhaupt ein $x^2$ vorkommt, muss $a \neq 0$ sein; bei $a = 0$ bleibt eine lineare Funktion übrig.

Was man direkt an den Koeffizienten ablesen kann:

• Öffnung: Bei $a > 0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, bei $a < 0$ nach unten.
• Form: Bei $|a| > 1$ ist sie schmaler als die Normalparabel $y = x^2$ (gestreckt), bei $|a| < 1$ breiter (gestaucht).
• y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$, die Parabel schneidet die y-Achse in $(0 \mid c)$.

Der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitelpunkt. Seine x-Koordinate ist $x_S = -\frac{b}{2a}$, die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch ihn. Die Nullstellen findet man, indem man $f(x) = 0$ mit der abc-Formel oder (nach Teilen durch $a$) mit der p-q-Formel löst. Es gibt zwei, eine oder keine.

Beispiele

$f(x) = -x^2 + 4x - 3$, also $a = -1$, $b = 4$, $c = -3$:

• $a < 0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und so breit wie die Normalparabel.
• y-Achsenabschnitt: $f(0) = -3$.
• Nullstellen: $-x^2 + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3) = 0$, also $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$.
• Scheitelpunkt: $x_S = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$ und $f(2) = -4 + 8 - 3 = 1$, also $S(2 \mid 1)$. Er liegt genau zwischen den Nullstellen.

Typische Fehler

• $-x^2$ und $(-x)^2$ verwechseln: Für $f(x) = -x^2$ ist $f(-3) = -(-3)^2 = -9$, nicht $9$. Erst quadrieren, dann das Minus anwenden.
• $b$ für den y-Achsenabschnitt halten, wie bei der linearen Funktion. Bei der Parabel ist es $c$.
• Aus „$a$ ist groß“ schließen, dass die Parabel breit ist. Es ist umgekehrt: Großes $|a|$ macht sie schmal.