Exponentielles Wachstum

Mittelstufe

N(t) = N_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t

Voraussetzung: $p > -100$

$N(t)$: Bestand nach t Zeitschritten
$N_0$: Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0
$p$: prozentuale Änderung pro Zeitschritt (bei Abnahme negativ)
$t$: Anzahl der Zeitschritte (z.B. Stunden oder Jahre)

Wächst oder schrumpft ein Bestand pro Schritt um p %, ist er nach t Schritten N₀ · (1 + p/100)ᵗ.

Graph von N(t) = 500 · 1,2ᵗ, nach 3 Stunden sind es 864 Bakterien

Erklärung

Von exponentiellem Wachstum spricht man, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um denselben Prozentsatz zunimmt. Pro Zeitschritt multipliziert man mit dem Wachstumsfaktor

q = 1 + \frac{p}{100}

Bei einer Abnahme ist $p$ negativ, der Faktor also kleiner als $1$ : $-15\,\%$ pro Jahr ergibt $q = 0{,}85$ . Die Bedingung $p > -100$ sorgt dafür, dass $q$ positiv bleibt; mehr als $100\,\%$ kann ein Bestand nicht verlieren.

$t$ zählt die Zeitschritte in der Einheit, auf die sich $p$ bezieht. Steht $p$ pro Jahr, wird $t$ in Jahren gemessen.

Beispiele

Eine Bakterienkultur hat $500$ Bakterien und wächst um $20\,\%$ pro Stunde. Nach $3$ Stunden:

N(3) = 500 \cdot 1{,}2^3 = 500 \cdot 1{,}728 = 864

Ein Auto kostet $20\,000$ € und verliert jedes Jahr $15\,\%$ an Wert. Nach $4$ Jahren:

N(4) = 20\,000 \cdot 0{,}85^4 = 10\,440{,}125 \approx 10\,440{,}13\,\text{Euro}

Nach wie vielen Stunden hat sich die Bakterienkultur verdoppelt? Gesucht ist $t$ mit $1{,}2^t = 2$ . Weil $t$ im Exponenten steht, löst man mit dem Logarithmus:

t = \log_{1{,}2} 2 \approx 3{,}8

Nach etwa $3{,}8$ Stunden. Zur Kontrolle durch Probieren: $1{,}2^4 \approx 2{,}07$ , also knapp unter $4$ Stunden.

Typische Fehler

Den Prozentsatz direkt als Faktor nehmen: Bei $20\,\%$ ist der Faktor $1{,}2$ , nicht $20$ und nicht $0{,}2$ .
Bei Abnahme mit dem verlorenen Anteil rechnen: Bei $-15\,\%$ bleibt $85\,\%$ übrig, der Faktor ist $0{,}85$ , nicht $0{,}15$ .
Linear statt exponentiell rechnen: $20\,\%$ von $500$ sind $100$ , aber nach $3$ Stunden sind es nicht $500 + 3 \cdot 100 = 800$ , sondern $864$ , weil die $20\,\%$ jede Stunde vom neuen Bestand berechnet werden.
Annehmen, dass $+10\,\%$ und danach $-10\,\%$ wieder den Anfangswert ergeben: $100 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 99$ .

Exponentielles Wachstum