Antiproportionale Funktion

Mittelstufe

f(x) = \frac{k}{x}

Voraussetzung: $x \neq 0,$ $k \neq 0$

$k$: Proportionalitätsfaktor, das konstante Produkt x · f(x)
$x$: Eingabewert, darf nicht 0 sein
$f(x)$: zugeordneter Wert

Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt x · y immer gleich k; der Graph ist eine Hyperbel.

Graph von f(x) = 24/x; jedes Rechteck unter einem Punkt des Graphen hat den Flächeninhalt x · f(x) = 24

Erklärung

Zwei Größen sind antiproportional (umgekehrt proportional), wenn zum Doppelten der einen Größe die Hälfte der anderen gehört, zum Dreifachen ein Drittel und so weiter. Dann ist das Produkt der beiden Größen immer gleich:

x \cdot f(x) = k

Man nennt solche Wertepaare deshalb auch produktgleich. Mit einer Wertetabelle prüft man das, indem man in jeder Zeile $x \cdot y$ ausrechnet.

Der Graph ist eine Hyperbel. Er besteht aus zwei Ästen, die sich den beiden Koordinatenachsen immer weiter nähern, sie aber nie berühren. Für $k > 0$ liegen die Äste im ersten und dritten Quadranten. Die Stelle $x = 0$ gehört nicht zum Definitionsbereich.

Beispiele

Ein Rechteck soll den Flächeninhalt $24\,\text{cm}^2$ haben. Zur Breite $x$ gehört die Länge $y = \frac{24}{x}$ :

x = 4\,\text{cm}: \ y = 6\,\text{cm}, \qquad x = 8\,\text{cm}: \ y = 3\,\text{cm}, \qquad x = 1{,}5\,\text{cm}: \ y = 16\,\text{cm}

Für eine Strecke von $120\,\text{km}$ braucht man bei der Geschwindigkeit $v$ die Zeit $t = \frac{120}{v}$ . Mit $80\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ dauert es $1{,}5\,\text{h}$ , mit $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ dauert es $2\,\text{h}$ .

Typische Fehler

Jede „je mehr, desto weniger“-Zuordnung für antiproportional halten: Bei $y = 10 - x$ ist $2 \cdot 8 = 16$ , aber $4 \cdot 6 = 24$ . Das Produkt ist nicht konstant.
Wie beim proportionalen Dreisatz multiplizieren: Wer doppelt so schnell fährt, braucht die halbe Zeit. Bei $120\,\text{km}$ und $120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ist $t = 1\,\text{h}$ , nicht $3\,\text{h}$ .
$x = 0$ in die Wertetabelle eintragen: Durch $0$ kann man nicht teilen.

Antiproportionale Funktion