Betragsfunktion

Mittelstufe

f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{für } x \ge 0 \\ -x & \text{für } x < 0 \end{cases}

$x$: beliebige reelle Zahl
$|x|$: Betrag von x, sein Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl

Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl ihren Betrag zu; ihr Graph hat die Form eines V mit Spitze im Ursprung.

Graph der Betragsfunktion f(x) = |x| mit der Spitze im Ursprung, grau verschoben f(x) = |x − 2| − 1 mit der Spitze (2 | −1)

Erklärung

Die Betragsfunktion macht aus jeder Zahl eine nicht negative Zahl: Positive Zahlen und $0$ bleiben, wie sie sind, bei negativen Zahlen fällt das Minuszeichen weg. So ist $|3| = 3$ und $|-3| = 3$ .

Der Graph besteht aus zwei Halbgeraden: rechts von $0$ die Gerade $y = x$ , links davon $y = -x$ . Zusammen bilden sie ein V mit der Spitze im Ursprung. An der Spitze hat der Graph einen Knick.

Eigenschaften:

Definitionsmenge: alle reellen Zahlen, Wertemenge: $y \ge 0$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn $|-x| = |x|$ .

Verschoben und gestreckt lautet die Funktion $f(x) = a \cdot |x - d| + e$ . Die Spitze liegt dann bei $(d \mid e)$ .

Beispiele

$f(x) = |x - 2| - 1$ hat die Spitze bei $(2 \mid -1)$ , denn $f(2) = |0| - 1 = -1$ .

Nullstellen: $|x - 2| = 1$ gilt für $x - 2 = 1$ oder $x - 2 = -1$ , also für $x_1 = 3$ und $x_2 = 1$ .

Der y-Achsenabschnitt ist $f(0) = |-2| - 1 = 1$ .

Typische Fehler

$|x - 2|$ als $|x| - 2$ lesen. Der Betrag gilt für die ganze Klammer.
Bei $|x - 2| = 1$ nur die Lösung $x = 3$ finden. Es gibt immer zwei Fälle, wenn rechts eine positive Zahl steht.
Glauben, $-x$ sei immer negativ. Für $x < 0$ ist $-x$ positiv, deshalb steht in der Fallunterscheidung $-x$ .

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