Ganzrationale Funktion

Oberstufe

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}_0,$ $a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{R},$ $a_n \neq 0$

$n$: Grad der Funktion, der höchste vorkommende Exponent
$a_n$: Leitkoeffizient, der Faktor vor der höchsten Potenz
$a_{n-1}, \ldots, a_1$: weitere Koeffizienten, dürfen auch 0 sein
$a_0$: Absolutglied, der y-Achsenabschnitt
$x$: Eingabewert (Stelle)
$f(x)$: Funktionswert an der Stelle x

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Potenzen von x mit natürlichen Exponenten und festen Koeffizienten.

Graph von f(x) = 2x³ − 4x² − 6x vom Grad 3 mit den Nullstellen −1, 0 und 3

Erklärung

Eine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist eine Summe aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Der höchste Exponent $n$ mit einem Koeffizienten ungleich $0$ heißt Grad, sein Faktor $a_n$ heißt Leitkoeffizient. Lineare Funktionen haben den Grad $1$ , quadratische den Grad $2$ .

Aus Grad und Koeffizienten lässt sich viel ablesen:

Der y-Achsenabschnitt ist $f(0) = a_0$ .
Eine Funktion vom Grad $n \geq 1$ hat höchstens $n$ Nullstellen und höchstens $n - 1$ Extremstellen.
Das Verhalten im Unendlichen bestimmt allein der Summand $a_n x^n$ . Bei geradem $n$ zeigen beide Enden des Graphen in dieselbe Richtung, bei ungeradem $n$ in entgegengesetzte. Ist $a_n > 0$ , geht der Graph für $x \to \infty$ nach oben.
Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse; kommen nur ungerade vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

$f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 6x$ hat den Grad $3$ und den Leitkoeffizienten $2$ . Weil $a_0 = 0$ ist, geht der Graph durch den Ursprung. Für die Nullstellen klammert man $2x$ aus und zerlegt den Rest in Linearfaktoren:

f(x) = 2x \left(x^2 - 2x - 3\right) = 2x(x - 3)(x + 1)

Die Nullstellen sind $x_1 = -1$ , $x_2 = 0$ und $x_3 = 3$ , also die Höchstzahl $3$ . Außerdem ist $f(2) = 16 - 16 - 12 = -12$ .

Verhalten im Unendlichen: $n = 3$ ist ungerade und $a_3 = 2 > 0$ . Für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to -\infty$ , für $x \to \infty$ geht $f(x) \to \infty$ . Zur Kontrolle: $f(-100) = -2\,039\,400$ und $f(100) = 1\,959\,400$ .

Typische Fehler

Den Grad am ersten Summanden ablesen: $f(x) = 3x + x^4$ hat den Grad $4$ , nicht $1$ . Maßgeblich ist der höchste Exponent.
Glauben, dass eine Funktion vom Grad $n$ immer genau $n$ Nullstellen hat: $x^2 + 1$ ist nie kleiner als $1$ und hat deshalb keine reelle Nullstelle.
Beim Verhalten im Unendlichen das Vorzeichen von $a_n$ übersehen: $-x^4$ geht an beiden Enden nach unten.

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