Exponentielle Abnahme

Mittelstufe

N(t) = N_0 \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)^t

Voraussetzung: $0 < p < 100$

$N(t)$: Bestand nach t Zeitschritten
$N_0$: Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0
$p$: Abnahme in Prozent pro Zeitschritt (positiv angegeben)
$t$: Anzahl der Zeitschritte
$1 - \frac{p}{100}$: Abnahmefaktor, liegt zwischen 0 und 1

Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um p % ab, bleibt nach t Schritten N₀ · (1 − p/100)ᵗ übrig.

Graph von N(t) = 200 · 0,75ᵗ, nach 3 Stunden sind noch etwa 84,4 mg übrig

Erklärung

Von exponentieller Abnahme spricht man, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um denselben Prozentsatz kleiner wird. Pro Zeitschritt bleibt derselbe Anteil übrig. Man multipliziert also jedes Mal mit dem Abnahmefaktor

q = 1 - \frac{p}{100}

Bei $25\,\%$ Abnahme ist $q = 0{,}75$ , denn $75\,\%$ bleiben übrig. Weil die Prozente immer vom aktuellen Bestand abgezogen werden, wird die Abnahme in absoluten Zahlen von Schritt zu Schritt kleiner. Der Bestand nähert sich $0$ , erreicht sie aber nie.

Die Formel ist ein Sonderfall des exponentiellen Wachstums mit negativer Änderungsrate. Ist statt des Prozentsatzes die Zeit bis zur Hälfte bekannt, rechnet man mit der Halbwertszeit.

Beispiele

Im Blut werden pro Stunde $25\,\%$ eines Medikaments abgebaut. Von $200\,\text{mg}$ sind nach $3$ Stunden noch

N(3) = 200 \cdot 0{,}75^3 = 200 \cdot 0{,}421875 = 84{,}375 \approx 84{,}4\,\text{mg}

vorhanden.

Ein Tierbestand von $1500$ Tieren schrumpft jedes Jahr um $8\,\%$ . Nach $5$ Jahren:

N(5) = 1500 \cdot 0{,}92^5 \approx 1500 \cdot 0{,}6591 \approx 989

Wann ist beim Medikament nur noch die Hälfte da? Gesucht ist $t$ mit $0{,}75^t = 0{,}5$ :

t = \log_{0{,}75} 0{,}5 \approx 2{,}41

Nach etwa $2{,}4$ Stunden.

Typische Fehler

Mit dem abgebauten Anteil statt mit dem Rest rechnen: $200 \cdot 0{,}25^3 = 3{,}125$ ist falsch. Der Faktor ist $0{,}75$ , nicht $0{,}25$ .
Die Prozente einfach addieren: Nach $3$ Stunden sind nicht $3 \cdot 25\,\% = 75\,\%$ weg (dann blieben $200 \cdot 0{,}25 = 50\,\text{mg}$ übrig), sondern knapp $58\,\%$ ; übrig sind $84{,}4\,\text{mg}$ .
Glauben, dass nach $4$ Schritten zu je $25\,\%$ alles weg ist: Es bleiben $0{,}75^4 \approx 31{,}6\,\%$ übrig.

Exponentielle Abnahme