Punkt-Steigungs-Form

Mittelstufe

y = m(x - x_1) + y_1

$m$: Steigung der Geraden
$x_1, y_1$: Koordinaten eines bekannten Punkts P(x₁ | y₁) auf der Geraden
$x, y$: Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Geraden

Stellt die Gleichung einer Geraden auf, wenn ihre Steigung m und ein Punkt P(x₁ | y₁) auf ihr bekannt sind.

Gerade mit der Steigung m = 3 durch P(2 | 1), also y = 3x − 5

Erklärung

Eine Gerade ist festgelegt, sobald man einen Punkt $P(x_1 \mid y_1)$ auf ihr und ihre Steigung $m$ kennt. Die Punkt-Steigungs-Form liefert dann direkt die Geradengleichung, ohne dass man den y-Achsenabschnitt vorher ausrechnen muss.

Setzt man $x = x_1$ ein, wird die Klammer $0$ und es bleibt $y = y_1$ : Die Gerade geht also wirklich durch $P$ .

Typische Anwendung: Gerade durch zwei Punkte. Man berechnet zuerst die Steigung aus beiden Punkten und setzt dann einen der Punkte ein. Durch Ausmultiplizieren erhält man die gewohnte Form $y = mx + b$ .

Beispiele

Gerade mit Steigung $m = 3$ durch $P(2 \mid 1)$ :

y = 3(x - 2) + 1 = 3x - 6 + 1 = 3x - 5

Gerade durch $A(1 \mid 4)$ und $B(3 \mid 0)$ . Zuerst die Steigung:

m = \frac{0 - 4}{3 - 1} = -2

Dann mit Punkt $A$ :

y = -2(x - 1) + 4 = -2x + 6

Probe mit $B$ : $-2 \cdot 3 + 6 = 0$ . Stimmt.

Typische Fehler

Vorzeichenfehler bei negativen Koordinaten: Für $P(-2 \mid 3)$ und $m = 0{,}5$ heißt es $y = 0{,}5(x - (-2)) + 3 = 0{,}5(x + 2) + 3 = 0{,}5x + 4$ , nicht $0{,}5(x - 2) + 3$ .
$x_1$ und $y_1$ vertauschen: In die Klammer gehört die x-Koordinate des Punkts, addiert wird die y-Koordinate.
Beim Ausmultiplizieren nur das $x$ mit $m$ multiplizieren: $3(x - 2) = 3x - 6$ , nicht $3x - 2$ .

Punkt-Steigungs-Form