Allgemeine Sinusfunktion

Oberstufe

f(x) = a \cdot \sin\bigl(b(x - c)\bigr) + d

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b \neq 0$

$a$: Streckfaktor in y-Richtung, |a| ist die Amplitude
$b$: Streckfaktor in x-Richtung, bestimmt die Periode 2π/|b|
$c$: Verschiebung in x-Richtung (oft Phasenverschiebung genannt)
$d$: Verschiebung in y-Richtung, die Mittellinie y = d
$x$: Eingabewert im Bogenmaß
$f(x)$: Funktionswert an der Stelle x

Die allgemeine Sinusfunktion entsteht aus sin(x) durch Strecken und Verschieben; ihre Periode ist 2π/|b|.

Graph von f(x) = 3 · sin(2(x − π/4)) + 1 mit Mittellinie y = 1, Amplitude a = 3 und Periode p = π

Erklärung

Die allgemeine Sinusfunktion entsteht aus $y = \sin(x)$ durch Strecken und Verschieben. Jeder Parameter hat eine eigene Wirkung:

$|a|$ ist die Amplitude, der Abstand von der Mittellinie zu Hoch- und Tiefpunkten. Bei $a < 0$ ist der Graph zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt.
$b$ bestimmt die Periode $p = \frac{2\pi}{|b|}$ . Bei $|b| > 1$ wird der Graph in x-Richtung gestaucht, bei $|b| < 1$ gestreckt.
$c$ verschiebt den Graphen um $c$ nach rechts. Bei $x = c$ geht er (für $a, b > 0$ ) steigend durch die Mittellinie.
$d$ verschiebt ihn um $d$ nach oben. Die Mittellinie ist $y = d$ , der Wertebereich $[d - |a|;\ d + |a|]$ .

Die Formel setzt voraus, dass $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Mit $a = 0$ oder $b = 0$ wäre $f$ konstant; deshalb sind beide ungleich $0$ . In der Praxis wählt man meist $b > 0$ .

Beispiele

$f(x) = 3 \cdot \sin\bigl(2(x - \tfrac{\pi}{4})\bigr) + 1$ :

Amplitude $3$ , Mittellinie $y = 1$ , Wertebereich $[-2;\ 4]$ .
Periode $p = \frac{2\pi}{2} = \pi$ .
Der Graph startet bei $x = \frac{\pi}{4}$ auf der Mittellinie, ein Viertel der Periode später liegt ein Hochpunkt: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 4$ . Bei $x = \pi$ liegt ein Tiefpunkt: $f(\pi) = 3 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -2$ .

Modellierung: Die Monatsmitteltemperatur einer Stadt schwankt zwischen $2\,\text{°C}$ im Januar ( $t = 1$ ) und $18\,\text{°C}$ im Juli ( $t = 7$ ), $t$ in Monaten. Mittellinie $d = \frac{18 + 2}{2} = 10$ , Amplitude $a = \frac{18 - 2}{2} = 8$ , Periode $12$ Monate, also $b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . Der Hochpunkt liegt eine Viertelperiode ( $3$ Monate) nach dem Durchgang durch die Mittellinie, also ist $c = 7 - 3 = 4$ :

T(t) = 8 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 10

Probe: $T(7) = 8 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = 18$ und $T(1) = 8 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10 = 2$ .

Typische Fehler

Periode als $2\pi \cdot b$ berechnen: Richtig ist $\frac{2\pi}{|b|}$ . Größeres $b$ bedeutet kürzere Periode.
Die Verschiebung ablesen, ohne $b$ auszuklammern: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ ist um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben, nicht um $\frac{\pi}{2}$ .
Das Vorzeichen von $c$ umdrehen: Bei $\sin(x + 1)$ ist $c = -1$ , der Graph ist nach links verschoben.
Den Taschenrechner im Gradmaß lassen: $x$ steht im Bogenmaß, der Rechner muss auf RAD stehen.

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