Formelfritz
Meine Listen

Umkehrfunktion

Umkehrfunktion

Oberstufe
y=f(x)  ⟺  x=f−1(y)y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)

Voraussetzung: ff umkehrbar, d.h. jeder Funktionswert wird nur einmal angenommen

ff
umkehrbare Ausgangsfunktion
f−1f^{-1}
Umkehrfunktion von f
xx
Stelle im Definitionsbereich von f
yy
Funktionswert von f, Stelle im Definitionsbereich von f⁻¹

Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht f rückgängig; ihr Graph ist der an der Geraden y = x gespiegelte Graph von f.

123123xy(1,5 | 2,25)(2,25 | 1,5)ff⁻¹y = x
Graph von f(x) = x² für x ≥ 0 und seiner Umkehrfunktion f⁻¹(x) = √x, gespiegelt an der Geraden y = x

Erklärung

Eine Funktion ff ordnet jedem xx einen Wert yy zu. Die Umkehrfunktion f−1f^{-1} geht den Weg zurück: Sie ordnet jedem yy das xx zu, aus dem es entstanden ist. Hintereinander ausgeführt heben sich beide auf:

f−1(f(x))=x,f(f−1(y))=yf^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x, \qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y

Das geht nur, wenn ff umkehrbar ist: Jeder Funktionswert darf nur einmal vorkommen. Das ist zum Beispiel erfüllt, wenn ff streng monoton steigt oder fällt. Notfalls schränkt man den Definitionsbereich ein.

So bestimmt man f−1f^{-1}:

  1. y=f(x)y = f(x) nach xx auflösen.
  2. xx und yy vertauschen, damit die Variable wieder xx heißt.

Der Graph von f−1f^{-1} entsteht durch Spiegeln an der Winkelhalbierenden y=xy = x. Definitions- und Wertebereich tauschen dabei die Rollen.

Beispiele

f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Aus y=2x+3y = 2x + 3 folgt x=y−32x = \frac{y - 3}{2}, nach dem Vertauschen

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

Probe: f(4)=11f(4) = 11 und f−1(11)=11−32=4f^{-1}(11) = \frac{11 - 3}{2} = 4.

f(x)=x2f(x) = x^2 ist auf ganz R\mathbb{R} nicht umkehrbar. Eingeschränkt auf x≥0x \geq 0 ist die Umkehrfunktion f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}.

Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus sind Umkehrfunktionen voneinander: ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x und eln⁡x=xe^{\ln x} = x für x>0x > 0.

Typische Fehler

  • f−1f^{-1} als Kehrwert lesen: Für f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ist f−1(5)=5−32=1f^{-1}(5) = \frac{5 - 3}{2} = 1, aber 1f(5)=113\frac{1}{f(5)} = \frac{1}{13}. Die −1-1 ist hier kein Exponent.
  • Eine nicht umkehrbare Funktion umkehren: Bei x2x^2 ist (−2)2=22=4(-2)^2 = 2^2 = 4; zu 44 gibt es ohne Einschränkung kein eindeutiges xx.
  • Das Vertauschen von xx und yy vergessen: Dann steht zwar die richtige Rechnung da, aber die Funktion ist nach der falschen Variablen benannt.

Verwandte Formeln