Scheitelpunkt berechnen

Mittelstufe

x_S = -\frac{b}{2a}, \quad y_S = f(x_S)

Voraussetzung: $a \neq 0$

$x_S, y_S$: Koordinaten des Scheitelpunkts S(x_S | y_S)
$a$: Koeffizient vor x² in f(x) = ax² + bx + c
$b$: Koeffizient vor x in f(x) = ax² + bx + c
$f$: die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c

Der Scheitelpunkt der Parabel f(x) = ax² + bx + c liegt bei x = −b/(2a); den y-Wert erhält man durch Einsetzen.

Graph von f(x) = 2x² − 8x + 5; der Scheitelpunkt S(2 | −3) liegt mittig zwischen den Stellen 0 und 4 mit gleichem Funktionswert 5

Erklärung

Mit dieser Formel bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel direkt aus der allgemeinen Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ , ohne quadratische Ergänzung:

x-Koordinate berechnen: $x_S = -\frac{b}{2a}$ .
Diesen Wert in $f$ einsetzen: $y_S = f(x_S)$ .

Bei $a > 0$ ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel, bei $a < 0$ der höchste. Wer lieber eine fertige Formel für den y-Wert hat: $y_S = c - \frac{b^2}{4a}$ .

Die Parabel ist symmetrisch, der Scheitelpunkt liegt also mittig zwischen zwei Punkten mit gleichem y-Wert. Die Parabel $y = ax^2 + bx$ ist dieselbe wie $f$ , nur um $c$ nach unten verschoben, hat also denselben $x_S$ . Ihre Nullstellen findet man durch Ausklammern:

ax^2 + bx = x(ax + b) = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0 \;\text{oder}\; x = -\frac{b}{a}

Die Mitte dazwischen ist $x_S = -\frac{b}{2a}$ .

Beispiele

$f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ , also $a = 2$ und $b = -8$ :

x_S = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2, \qquad y_S = f(2) = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = -3

Der Scheitelpunkt ist $S(2 \mid -3)$ , ein Tiefpunkt, weil $a > 0$ .

$f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1$ , also $a = -0{,}5$ und $b = 3$ :

x_S = -\frac{3}{2 \cdot (-0{,}5)} = 3, \qquad y_S = f(3) = -4{,}5 + 9 + 1 = 5{,}5

Der Scheitelpunkt ist $S(3 \mid 5{,}5)$ , ein Hochpunkt, weil $a < 0$ .

Typische Fehler

Das Minus vor dem Bruch vergessen, besonders bei negativem $b$ : $-\frac{-8}{4} = +2$ .
Nur durch $2$ teilen und dann mit $a$ multiplizieren: Der Nenner ist $2a$ als Ganzes, also $-\frac{b}{2a}$ , nicht $-\frac{b}{2} \cdot a$ .
$y_S$ falsch ausrechnen, weil das Quadrat bei negativem $x_S$ das Vorzeichen verliert: $f(-2)$ enthält $a \cdot (-2)^2 = 4a$ .

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