Lineare Funktion

Mittelstufe

f(x) = mx + b

$m$: Steigung der Geraden
$b$: y-Achsenabschnitt, also der Funktionswert an der Stelle 0
$x$: Eingabewert (Stelle)
$f(x)$: Funktionswert an der Stelle x

Eine lineare Funktion hat eine Gerade als Graphen, festgelegt durch die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Graph von f(x) = 2x − 1 mit dem y-Achsenabschnitt b = −1 und einem Steigungsdreieck, 1 nach rechts und m = 2 nach oben

Erklärung

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Zwei Zahlen legen sie fest:

Die Steigung $m$ gibt an, um wie viel sich $f(x)$ ändert, wenn $x$ um $1$ größer wird. Bei $m > 0$ steigt die Gerade, bei $m < 0$ fällt sie, bei $m = 0$ verläuft sie waagerecht.
Der y-Achsenabschnitt $b$ ist der Funktionswert an der Stelle $0$ . Dort schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt $(0 \mid b)$ .

Zum Zeichnen markiert man den Punkt $(0 \mid b)$ und trägt von dort aus ein Steigungsdreieck ab: $1$ nach rechts und $m$ nach oben (bei negativem $m$ nach unten).

In manchen Büchern heißt der y-Achsenabschnitt auch $n$ oder $c$ . Gemeint ist dasselbe.

Beispiele

$f(x) = 2x - 1$ hat die Steigung $m = 2$ und den y-Achsenabschnitt $b = -1$ . Die Gerade schneidet die y-Achse in $(0 \mid -1)$ . Funktionswert an der Stelle $3$ :

f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5

Eine Gerade schneidet die y-Achse in $(0 \mid 3)$ und fällt pro Schritt nach rechts um $0{,}5$ . Also ist $m = -0{,}5$ und $b = 3$ :

f(x) = -0{,}5x + 3, \qquad f(4) = -0{,}5 \cdot 4 + 3 = 1

Typische Fehler

$m$ und $b$ verwechseln, wenn die Reihenfolge anders ist: Bei $f(x) = 3 - 2x$ ist $m = -2$ (die Zahl vor dem $x$ ) und $b = 3$ .
Das Vorzeichen bei der Steigung verlieren: Bei $f(x) = -x + 4$ ist $m = -1$ , nicht $m = 1$ .
Beim Steigungsdreieck $m$ nach rechts und $1$ nach oben gehen. Richtig: $1$ nach rechts, $m$ nach oben.

Lineare Funktion