Verdopplungszeit

Mittelstufe

T_D = \frac{\ln 2}{\ln q}

Voraussetzung: $q > 1$

$T_D$: Verdopplungszeit, gemessen in Zeitschritten
$q$: Wachstumsfaktor pro Zeitschritt, q = 1 + p/100
$\ln$: natürlicher Logarithmus (jede andere Basis liefert dasselbe Ergebnis)

Die Verdopplungszeit ist die feste Zeit, nach der sich ein exponentiell wachsender Bestand jeweils verdoppelt.

Graph von N(t) = 100 · 2^(t/20); nach jeder Verdopplungszeit T_D = 20 Minuten hat sich der Bestand verdoppelt

Erklärung

Bei exponentiellem Wachstum dauert es immer gleich lange, bis sich der Bestand verdoppelt, egal wie groß er gerade ist. Diese feste Zeit heißt Verdopplungszeit $T_D$ . Sie hängt nur vom Wachstumsfaktor $q$ ab, nicht vom Anfangsbestand.

Die Formel folgt aus der Bedingung $q^{T_D} = 2$ . Weil die gesuchte Zeit im Exponenten steht, logarithmiert man beide Seiten: $T_D \cdot \ln q = \ln 2$ . Statt $\ln$ darf man auch $\lg$ oder jeden anderen Logarithmus nehmen, solange oben und unten derselbe steht.

Kennt man $T_D$ , lässt sich der Bestand direkt angeben:

N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{T_D}}

Die Bedingung $q > 1$ gilt, weil nur ein wachsender Bestand sich verdoppelt. Für abnehmende Bestände rechnet man mit der Halbwertszeit.

Als Faustregel gilt für kleine Prozentsätze $T_D \approx \frac{70}{p}$ , wobei $p$ die Zunahme in Prozent pro Zeitschritt ist ( $q = 1 + \frac{p}{100}$ ). Sie ist nur eine Näherung (wegen $\ln 2 \approx 0{,}69$ und $\ln(1 + x) \approx x$ ) und taugt bis etwa $p = 10$ ; bei großen Prozentsätzen wird sie ungenau.

Beispiele

Ein Guthaben wächst um $5\,\%$ pro Jahr, also $q = 1{,}05$ :

T_D = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2 \text{ Jahre}

Die Faustregel liefert $\frac{70}{5} = 14$ Jahre, also fast dasselbe.

Eine Bakterienkultur mit $100$ Bakterien verdoppelt sich alle $20$ Minuten. Nach $2$ Stunden, also $120$ Minuten, sind es

N(120) = 100 \cdot 2^{\frac{120}{20}} = 100 \cdot 2^6 = 6400

Typische Fehler

Mit $\frac{100}{p}$ rechnen: Bei $5\,\%$ wären das $20$ Jahre. Das gilt nur bei linearem Wachstum, bei dem jedes Jahr $5\,\%$ des Anfangswertes dazukommen.
Den Prozentsatz statt des Faktors einsetzen: $\frac{\ln 2}{\ln 5} \approx 0{,}43$ ist falsch. Bei $5\,\%$ ist $q = 1{,}05$ .
Zeiteinheiten mischen: $T_D$ kommt in der Einheit heraus, auf die sich $q$ bezieht.

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