Exponentialfunktion

Erklärung

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Erhöht man $x$ um $1$, wird der Funktionswert mit dem Wachstumsfaktor $b$ multipliziert. Lineare Funktionen addieren pro Schritt immer dieselbe Zahl, Exponentialfunktionen multiplizieren mit derselben Zahl.

Eigenschaften für $a > 0$:

• $b > 1$: Der Graph steigt, immer steiler (exponentielles Wachstum).
• $0 < b < 1$: Der Graph fällt und nähert sich der x-Achse (exponentielle Abnahme).
• Der Graph schneidet die y-Achse in $(0 \mid a)$ und hat keine Nullstelle. Die x-Achse ist eine Asymptote: Der Graph kommt ihr beliebig nahe, berührt sie aber nie.

Die Basis muss positiv sein, sonst wäre z.B. $(-2)^{0{,}5}$ nicht definiert. Bei $b = 1$ wäre $f$ konstant. Für $a < 0$ ist der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Beispiele

$f(x) = 3 \cdot 2^x$ verdoppelt sich mit jedem Schritt:

$f(x) = 8 \cdot 0{,}5^x$ halbiert sich mit jedem Schritt: $f(3) = 8 \cdot 0{,}125 = 1$.

Gesucht ist die Exponentialfunktion durch $(0 \mid 5)$ und $(2 \mid 20)$. Aus $f(0) = a$ folgt $a = 5$. Dann gilt $5 \cdot b^2 = 20$, also $b^2 = 4$ und wegen $b > 0$ ist $b = 2$:

Typische Fehler

• Erst $a \cdot b$ rechnen und dann potenzieren: $3 \cdot 2^4 = 48$, aber $(3 \cdot 2)^4 = 1296$. Potenz geht vor Punktrechnung.
• Exponentiell und linear verwechseln: Steigen die Werte pro Schritt um denselben Betrag, ist es linear; um denselben Faktor, exponentiell.
• Beim Aufstellen die negative Lösung von $b^2 = 4$ nehmen: Die Basis muss positiv sein.