Achsensymmetrie zur y-Achse

Oberstufe

f(-x) = f(x)

Voraussetzung: $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$

$f$: untersuchte Funktion
$x$: beliebige Stelle im Definitionsbereich
$D_f$: Definitionsbereich von f, muss symmetrisch zu 0 liegen

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(−x) = f(x) für jedes x im Definitionsbereich gilt.

Graph von f(x) = x⁴ − 3x² + 1, an den Stellen x und −x hat er denselben Funktionswert

Erklärung

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn man ihn an der y-Achse spiegeln kann, ohne dass er sich ändert. Rechnerisch heißt das: Zu $x$ und $-x$ gehört immer derselbe Funktionswert. Solche Funktionen heißen auch gerade Funktionen.

Die Bedingung muss für jedes $x$ gelten. Zum Nachweis setzt man $-x$ allgemein ein und formt um, bis $f(x)$ dasteht. Dazu muss mit $x$ auch $-x$ im Definitionsbereich liegen.

Bekannte gerade Funktionen:

ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten; ein Absolutglied zählt als $x^0$ und stört nicht,
$\cos(x)$ und $|x|$ .

Symmetrie spart Arbeit: Kennt man den Graphen rechts der y-Achse, kennt man ihn auch links. Nullstellen und Extremstellen treten (außer bei $x = 0$ ) paarweise bei $x$ und $-x$ auf.

Beispiele

$f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ :

f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)

Der Graph ist achsensymmetrisch. Gerade Potenzen schlucken das Minuszeichen.

$f(x) = x^2 + x$ ist nicht achsensymmetrisch: $f(-1) = 1 - 1 = 0$ , aber $f(1) = 2$ .

Typische Fehler

Nur ein Zahlenpaar prüfen: Bei $f(x) = x^2 + x - x^3$ ist $f(-1) = f(1) = 1$ , trotzdem ist $f(-2) = 10$ und $f(2) = -2$ . Ein Nachweis braucht das allgemeine $x$ .
Glauben, ein Absolutglied zerstöre die Achsensymmetrie: $x^2 + 5$ ist achsensymmetrisch, nur nicht mehr punktsymmetrisch.
$(-x)^2$ und $-x^2$ verwechseln: $(-x)^2 = x^2$ , aber $-x^2$ ist negativ.

Achsensymmetrie zur y-Achse