Polstellen und hebbare Definitionslücken

Oberstufe

\begin{gathered} f(x) = \frac{(x - x_0)^k \cdot u(x)}{(x - x_0)^l \cdot v(x)} \\ k \ge l \Rightarrow \text{hebbare Lücke} \\ k < l \Rightarrow \text{Polstelle} \end{gathered}

Voraussetzung: $u(x_0) \neq 0,$ $v(x_0) \neq 0,$ $l \ge 1$

$x_0$: Nullstelle des Nenners, also eine Definitionslücke
$k$: Vielfachheit von x₀ als Nullstelle des Zählers (k = 0, wenn der Zähler dort nicht null ist)
$l$: Vielfachheit von x₀ als Nullstelle des Nenners
$u(x), v(x)$: die restlichen Faktoren von Zähler und Nenner

Eine Nennernullstelle ist eine hebbare Lücke, wenn sie sich vollständig wegkürzen lässt, sonst eine Polstelle.

Graph von f(x) = (x² − 1)/(x² − 3x + 2): hebbare Lücke bei (1 | −2), Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2

Erklärung

Eine gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen des Nenners nicht definiert. Diese Definitionslücken sind von zwei Arten:

Hebbare Lücke: Der Faktor $(x - x_0)$ kürzt sich vollständig weg ( $k \ge l$ ). Der Graph hat dort nur ein „Loch". Der Grenzwert existiert und ist der Funktionswert der gekürzten Funktion.
Polstelle: Nach dem Kürzen bleibt $(x - x_0)$ im Nenner ( $k < l$ ). Die Funktionswerte wachsen dem Betrag nach über alle Grenzen, die Gerade $x = x_0$ ist eine senkrechte Asymptote.

Die Ordnung der Polstelle ist $l - k$ . Ist sie ungerade, wechselt $f$ dort das Vorzeichen (Polstelle mit Vorzeichenwechsel), ist sie gerade, nicht.

Vorgehen: Zähler und Nenner vollständig in Linearfaktoren zerlegen, gemeinsame Faktoren kürzen, dann jede Nennernullstelle einordnen.

Beispiele

\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} \\ &= \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x + 1}{x - 2} \end{aligned}

Definitionslücken sind $x = 1$ und $x = 2$ .

$x = 1$ kürzt sich weg: hebbare Lücke. Der Graph hat ein Loch bei $\left(1 \,\middle|\, \frac{1 + 1}{1 - 2}\right) = (1 \mid -2)$ .
$x = 2$ bleibt im Nenner, einfach: Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Links davon ist $f$ negativ, rechts positiv.

$g(x) = \frac{1}{(x - 3)^2}$ hat bei $x = 3$ eine Polstelle zweiter Ordnung ohne Vorzeichenwechsel: Der Graph geht auf beiden Seiten nach $+\infty$ .

Typische Fehler

Vor dem Kürzen die Definitionsmenge vergessen. Auch nach dem Kürzen ist $f$ bei $x = 1$ nicht definiert, die gekürzte Form gilt nur für $x \neq 1$ .
Jede Nennernullstelle als Polstelle bezeichnen, ohne zu prüfen, ob sie sich kürzen lässt.
Den Vorzeichenwechsel an der Vielfachheit im ursprünglichen Nenner ablesen statt an der Ordnung $l - k$ nach dem Kürzen.

Polstellen und hebbare Definitionslücken