Orthogonale Geraden

Mittelstufe

m_1 \cdot m_2 = -1

Voraussetzung: $beide Geraden nicht senkrecht$

$m_1$: Steigung der ersten Geraden
$m_2$: Steigung der zweiten Geraden

Zwei Geraden mit Steigung stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.

Die Geraden y = 2/3 x + 1 und y = −1,5x + 4 stehen senkrecht aufeinander, denn 2/3 · (−1,5) = −1

Erklärung

Zwei Geraden heißen orthogonal, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden. Für die Steigungen gilt dann: Ihr Produkt ist $-1$ . Umgestellt heißt das

m_2 = -\frac{1}{m_1}

Die Steigung der senkrechten Geraden ist also der negative Kehrwert: Bruch umdrehen und Vorzeichen wechseln.

Die Regel gilt für Geraden, die eine Steigung haben (also nicht senkrecht sind). Eine waagerechte Gerade ( $m = 0$ ) steht senkrecht auf einer senkrechten Geraden; dieser Fall wird von der Formel nicht erfasst.

Herleitung

Ein Steigungsdreieck der ersten Geraden geht $1$ nach rechts und $m_1$ nach oben. Dreht man es um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn, geht es $m_1$ nach links und $1$ nach oben. Die gedrehte Gerade hat also die Steigung

m_2 = \frac{1}{-m_1} = -\frac{1}{m_1}

Beispiele

Senkrecht zu einer Geraden mit $m_1 = 2$ ist jede Gerade mit

m_2 = -\frac{1}{2} = -0{,}5, \qquad 2 \cdot (-0{,}5) = -1

Gesucht ist die Gerade durch $P(2 \mid 1)$ , die senkrecht auf $y = \frac{2}{3}x + 1$ steht. Die Steigung ist $m_2 = -\frac{3}{2} = -1{,}5$ . Mit der Punkt-Steigungs-Form:

y = -1{,}5(x - 2) + 1 = -1{,}5x + 4

Typische Fehler

Nur das Vorzeichen wechseln: Zu $m_1 = 2$ ist $m_2 = -2$ nicht senkrecht, denn $2 \cdot (-2) = -4$ .
Nur den Kehrwert bilden: $m_2 = \frac{1}{2}$ ist ebenfalls falsch. Es braucht beides, Kehrwert und Vorzeichenwechsel.
Orthogonal und parallel verwechseln: Parallele Geraden haben gleiche Steigung, $m_1 = m_2$ .

Orthogonale Geraden