Arithmetik

Voraussetzung: $x \neq 0$ (für den relativen Fehler)

$x$

exakter (wahrer) Wert

$\tilde{x}$

Näherungswert, z.B. ein gerundeter oder gemessener Wert

$\Delta x$

absoluter Fehler, in derselben Einheit wie x

$\delta$

relativer Fehler, ohne Einheit, oft in Prozent angegeben

Der absolute Fehler ist der Abstand zum wahren Wert, der relative Fehler setzt ihn ins Verhältnis zum wahren Wert.

Voraussetzung: $p > 0,$ $n \geq 1$

$A$

Annuität, die gleichbleibende jährliche Rate aus Zinsen und Tilgung

$K_0$

Kreditbetrag (Darlehenssumme) zu Beginn

$q$

Zinsfaktor

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$n$

Laufzeit in Jahren, nach der der Kredit vollständig getilgt ist

Die Annuität ist die feste Jahresrate, mit der ein Kredit K₀ samt Zinsen in n Jahren genau zurückgezahlt wird.

Voraussetzung: $x_2 \neq 0,$ $y$ antiproportional zu $x$

$x_1, y_1$

bekanntes Wertepaar, z.B. Anzahl Arbeiter und Arbeitstage

$x_2$

neue Anzahl, für die der Wert gesucht ist

$y_2$

gesuchter Wert zu x₂

Beim antiproportionalen Dreisatz bleibt das Produkt gleich, deshalb gilt y₂ = x₁ · y₁ / x₂.

$a, b, c$

beliebige Zahlen

Bei reiner Addition oder reiner Multiplikation darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen.

Voraussetzung: $p > -100,$ $n \geq 0$

$K_0$

Barwert, der heutige Wert einer späteren Zahlung

$K_n$

Betrag, der nach n Jahren gezahlt wird

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$n$

Anzahl der Jahre bis zur Zahlung

Der Barwert ist der heutige Wert einer späteren Zahlung; man zinst sie mit dem Zinseszins zurück.

Voraussetzung: $b \neq 0$

$a$

Zähler des Bruchs

$b$

Nenner des Bruchs

Ein Bruch wird zur Dezimalzahl, indem man den Zähler durch den Nenner teilt; manchmal entsteht eine Periode.

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $d \neq 0$

$a, c$

Zähler der beiden Brüche

$b, d$

Nenner der beiden Brüche, nicht null

Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt und die Zähler verrechnet.

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $c \neq 0,$ $d \neq 0$

$a, c$

Zähler der beiden Brüche (c nicht null)

$b, d$

Nenner der beiden Brüche, nicht null

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $k \neq 0$

$a$

Zähler

$b$

Nenner, nicht null

$k$

Zahl, mit der erweitert oder durch die gekürzt wird, nicht null

Multipliziert oder dividiert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $d \neq 0$

$a, c$

Zähler der beiden Brüche

$b, d$

Nenner der beiden Brüche, nicht null

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.

Voraussetzung: $p \geq 0$

$B$

Bruttopreis, der Preis inklusive Mehrwertsteuer

$N$

Nettopreis, der Preis ohne Mehrwertsteuer

$p$

Mehrwertsteuersatz in Prozent (in Deutschland regulär 19, ermäßigt 7)

Der Bruttopreis ist der Nettopreis plus Mehrwertsteuer, bei 19 % also das 1,19-Fache des Nettopreises.

Voraussetzung: $x_1 \neq 0,$ $y$ proportional zu $x$

$x_1, y_1$

bekanntes Wertepaar, z.B. Menge und Preis

$x_2$

neue Menge, für die der Wert gesucht ist

$y_2$

gesuchter Wert zu x₂

Beim proportionalen Dreisatz schließt man vom bekannten Wertepaar auf eine Einheit und dann auf die gesuchte Menge.

Voraussetzung: $t_{\text{gesamt}} > 0$

$\bar{v}$

Durchschnittsgeschwindigkeit, z.B. in km/h

$s_{\text{gesamt}}$

gesamte zurückgelegte Strecke

$t_{\text{gesamt}}$

gesamte benötigte Zeit, einschließlich Pausen

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die gesamte Strecke geteilt durch die gesamte Zeit.

Voraussetzung: $m \in \mathbb{N},$ $m \geq 1,$ $p > -100 m$

$p_{\text{eff}}$

effektiver Jahreszins in Prozent

$p$

nominaler Jahreszins in Prozent

$m$

Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr, z.B. 12 bei monatlicher Verzinsung

Werden Zinsen mehrmals im Jahr gutgeschrieben, wächst das Kapital stärker; der effektive Jahreszins rechnet das auf ein Jahr um.

Voraussetzung: $n, a, b \in \mathbb{N},$ $0 < a < b$

$n$

Ganzzahliger Anteil

$a$

Zähler des Bruchanteils

$b$

Nenner des Bruchanteils

Eine gemischte Zahl wird zum Bruch, indem man die ganze Zahl mal Nenner rechnet und den Zähler addiert.

Voraussetzung: $p \neq 0$

$G$

Grundwert, das Ganze (entspricht 100 %)

$W$

Prozentwert, der bekannte Anteil

$p$

Prozentsatz als Zahl, z.B. p = 60 bei 60 %

Kennt man einen Anteil und seinen Prozentsatz, berechnet man das Ganze mit G = W · 100 / p.

$Z$

Zinsen für ein Jahr

$K$

Kapital, der angelegte oder geliehene Betrag

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

Die Zinsen für ein Jahr sind der Anteil p % des Kapitals, also Z = K · p / 100.

$a, b$

beliebige Zahlen

Beim Addieren und beim Multiplizieren darf man die Reihenfolge der Zahlen vertauschen.

Voraussetzung: Maßstab $1 : M,$ $M > 0$

$w$

Länge in der Wirklichkeit

$k$

Länge auf der Karte oder Zeichnung (gleiche Einheit wie w)

$M$

Maßstabszahl aus dem Maßstab 1 : M

Bei einem Maßstab 1 : M ist jede Länge in der Wirklichkeit M-mal so groß wie auf der Karte.

Voraussetzung: $m_1, m_2 \geq 0,$ $m_1 + m_2 > 0$

$m_1, m_2$

Mengen der beiden Sorten (z.B. in g, ml oder kg)

$c_1, c_2$

Gehalt (Konzentration in %) oder Preis pro Mengeneinheit der beiden Sorten

$c_M$

Gehalt oder Preis pro Mengeneinheit der Mischung

Der Gehalt einer Mischung ist der nach den Mengen gewichtete Mittelwert der Gehalte der einzelnen Sorten.

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$n$

die zu zerlegende natürliche Zahl

$p_1, \ldots, p_r$

verschiedene Primzahlen, der Größe nach geordnet

$k_1, \ldots, k_r$

Exponenten, wie oft jeder Primfaktor vorkommt (mindestens 1)

Jede natürliche Zahl ab 2 lässt sich auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.

$W$

Promillewert, der Anteil

$G$

Grundwert, das Ganze (entspricht 1000 ‰)

$p$

Promillesatz als Zahl, z.B. p = 35 bei 35 ‰

Promille bedeutet Tausendstel; der Promillewert ist der Grundwert mal p durch 1000.

Voraussetzung: $G \neq 0$

$p$

Prozentsatz als Zahl, das Ergebnis in Prozent

$W$

Prozentwert, der Anteil

$G$

Grundwert, das Ganze (entspricht 100 %)

Wie viel Prozent ein Anteil vom Ganzen ist, berechnet man mit p = W / G · 100.

Voraussetzung: $x_{\text{alt}} > 0$

$p$

Veränderung in Prozent (positiv bei Zunahme, negativ bei Abnahme)

$x_{\text{alt}}$

Ausgangswert, auf den sich die Veränderung bezieht

$x_{\text{neu}}$

Wert nach der Veränderung

Die prozentuale Veränderung setzt den Unterschied zwischen neuem und altem Wert ins Verhältnis zum alten Wert.

$W$

Prozentwert, der Anteil

$G$

Grundwert, das Ganze (entspricht 100 %)

$p$

Prozentsatz als Zahl, z.B. p = 15 bei 15 %

Der Prozentwert ist der Anteil am Grundwert, der zu einem bestimmten Prozentsatz gehört.

Voraussetzung: $0 \leq p \leq 100$

$K$

Preis vor dem Nachlass

$p$

Rabatt- oder Skontosatz in Prozent, z.B. p = 15 bei 15 %

$K_{\text{neu}}$

Preis nach dem Nachlass

Ein Nachlass von p % senkt den Preis auf das (1 − p/100)-Fache; mehrere Nachlässe werden nacheinander berechnet.

Voraussetzung: $p > 0,$ $n \geq 1,$ Zahlung jeweils am Ende des Jahres

$R_0$

Rentenbarwert, das heute nötige Kapital

$r$

Rate, der Betrag, der jedes Jahr ausgezahlt wird

$q$

Zinsfaktor

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$n$

Anzahl der Jahre und damit der Raten

Der Rentenbarwert ist das Kapital, das heute nötig ist, um n Jahre lang jeweils am Jahresende den Betrag r auszuzahlen.

Voraussetzung: $p > 0,$ $n \geq 1,$ Einzahlung jeweils am Ende des Jahres

$R_n$

Rentenendwert, das angesparte Kapital nach n Jahren

$r$

Rate, der Betrag, der jedes Jahr eingezahlt wird

$q$

Zinsfaktor

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$n$

Anzahl der Jahre und damit der Raten

Zahlt man n Jahre lang jeweils am Jahresende r ein, wächst das Guthaben mit Zinseszins auf r · (qⁿ − 1)/(q − 1).

Voraussetzung: $r \in \mathbb{R},$ $t \geq 0$

$K(t)$

Kapital zum Zeitpunkt t

$K_0$

Anfangskapital

$r$

nominaler Zinssatz pro Jahr als Dezimalzahl, z.B. 0,05 für 5 %

$t$

Zeit in Jahren, auch nicht ganzzahlig

$m$

Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr

$e$

Eulersche Zahl, etwa 2,718

Bei stetiger Verzinsung wächst ein Kapital wie K₀ · e^(rt), der Grenzfall unendlich häufiger Zinsgutschrift.

Voraussetzung: $t \geq 0$

$Z$

Zinsen für t Tage

$K$

Kapital

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$t$

Anzahl der Zinstage (ein Monat = 30 Tage, ein Jahr = 360 Tage)

Für einen Teil des Jahres erhält man den Anteil t/360 der Jahreszinsen, wobei t die Zahl der Zinstage ist.

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}$

$n$

natürliche Zahl, die geprüft wird

$Q(n)$

Quersumme von n, die Summe aller Ziffern

$\mid$

„teilt", also „ist ohne Rest ein Teiler von"

Mit Teilbarkeitsregeln erkennt man an Endziffern oder an der Quersumme, ob eine Zahl ohne Rest teilbar ist.

Voraussetzung: $k = 1, \ldots,$ $n, S_0 = K_0$

$k$

Nummer des Jahres

$K_0$

Kreditbetrag (Darlehenssumme) zu Beginn

$S_k$

Restschuld am Ende von Jahr k, S₀ ist der Kreditbetrag

$Z_k$

Zinsen im Jahr k

$T_k$

Tilgung im Jahr k, der Teil der Rate, der die Schuld senkt

$A$

Annuität, die gleichbleibende Jahresrate

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

Im Tilgungsplan teilt man jede Rate in Zinsen auf die Restschuld und Tilgung auf und rechnet die neue Restschuld aus.

Voraussetzung: $p \geq 0$

$G_{\text{neu}}$

vermehrter oder verminderter Grundwert, der Wert nach der Änderung

$G$

ursprünglicher Grundwert

$p$

Prozentsatz der Zunahme (+) oder Abnahme (−) als Zahl

Ein Wert, der um p % steigt oder sinkt, wird mit dem Änderungsfaktor 1 ± p/100 multipliziert.

Voraussetzung: $1 \leq |a| < 10,$ $n \in \mathbb{Z}$

$x$

die darzustellende Zahl (nicht null)

$a$

Mantisse, eine Zahl mit genau einer von null verschiedenen Stelle vor dem Komma

$n$

ganzzahliger Exponent der Zehnerpotenz

Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man als Zahl zwischen 1 und 10 mal einer Zehnerpotenz.

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{N},$ $a, b \geq 1$

$a, b$

natürliche Zahlen ab 1

$\operatorname{ggT}(a, b)$

größter gemeinsamer Teiler von a und b

$\operatorname{kgV}(a, b)$

kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b

Der größte gemeinsame Teiler mal das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ergibt das Produkt der beiden Zahlen.