Wissenschaftliche Schreibweise

Mittelstufe

x = a \cdot 10^n

Voraussetzung: $1 \leq |a| < 10,$ $n \in \mathbb{Z}$

$x$: die darzustellende Zahl (nicht null)
$a$: Mantisse, eine Zahl mit genau einer von null verschiedenen Stelle vor dem Komma
$n$: ganzzahliger Exponent der Zehnerpotenz

Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man als Zahl zwischen 1 und 10 mal einer Zehnerpotenz.

Erklärung

Bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen verliert man mit vielen Nullen schnell den Überblick. In der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man die Zahl als Produkt aus

einer Mantisse $a$ mit genau einer Ziffer ungleich null vor dem Komma, also $1 \leq |a| < 10$ ,
und einer Zehnerpotenz $10^n$ .

Der Exponent $n$ sagt, um wie viele Stellen das Komma verschoben wird: Bei großen Zahlen ist $n$ positiv, bei Zahlen zwischen $0$ und $1$ negativ. Taschenrechner zeigen $10^n$ oft als „E" an, z.B. 3.84E5.

Gerechnet wird mit den Potenzgesetzen: Mantissen miteinander multiplizieren, Exponenten addieren (bei der Division subtrahieren). Danach bringt man das Ergebnis wieder in die richtige Form.

Beispiele

Die mittlere Entfernung Erde–Mond beträgt etwa $384\,000\,\text{km}$ . Das Komma wandert um $5$ Stellen nach links:

384\,000 = 3{,}84 \cdot 10^5

Eine kleine Zahl, das Komma wandert um $4$ Stellen nach rechts:

0{,}000\,72 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}

Multiplizieren und danach normieren:

(3 \cdot 10^4) \cdot (5 \cdot 10^6) = 15 \cdot 10^{10} = 1{,}5 \cdot 10^{11}

Dividieren:

\frac{8 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-2}} = 4 \cdot 10^{3 - (-2)} = 4 \cdot 10^5

Typische Fehler

Das Ergebnis nicht normieren: $15 \cdot 10^{10}$ ist richtig gerechnet, aber erst $1{,}5 \cdot 10^{11}$ ist wissenschaftliche Schreibweise.
Das Vorzeichen des Exponenten verwechseln: Zahlen kleiner als $1$ haben einen negativen Exponenten, $0{,}000\,72 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}$ , nicht $7{,}2 \cdot 10^4$ .
Die Mantisse statt der Zehn potenzieren: $2{,}5 \cdot 10^3 = 2500$ , aber $2{,}5^3 = 15{,}625$ .

Wissenschaftliche Schreibweise