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Rentenbarwert

Rentenbarwert

Oberstufe
R0=r⋅qn−1qn⋅(q−1),q=1+p100R_0 = r \cdot \frac{q^n - 1}{q^n \cdot (q - 1)}, \qquad q = 1 + \frac{p}{100}

Voraussetzung: p>0,p > 0, n≥1,n \geq 1, Zahlung jeweils am Ende des Jahres

R0R_0
Rentenbarwert, das heute nötige Kapital
rr
Rate, der Betrag, der jedes Jahr ausgezahlt wird
qq
Zinsfaktor
pp
Zinssatz in Prozent pro Jahr
nn
Anzahl der Jahre und damit der Raten

Der Rentenbarwert ist das Kapital, das heute nötig ist, um n Jahre lang jeweils am Jahresende den Betrag r auszuzahlen.

Erklärung

Der Rentenbarwert beantwortet die Frage: Wie viel Geld muss heute auf dem Konto liegen, damit man daraus nn Jahre lang jeweils am Jahresende den Betrag rr abheben kann, bis das Konto leer ist? Das Restguthaben wird dabei weiter verzinst.

Man erhält ihn auf zwei Wegen, die zum selben Ergebnis führen:

  • Jede Rate einzeln abzinsen und addieren: R0=rq+rq2+…+rqnR_0 = \frac{r}{q} + \frac{r}{q^2} + \ldots + \frac{r}{q^n}.
  • Den Rentenendwert Rn=r⋅qn−1q−1R_n = r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} berechnen und um nn Jahre abzinsen: R0=RnqnR_0 = \frac{R_n}{q^n}.

Der Rentenbarwert ist immer kleiner als die Summe n⋅rn \cdot r aller Auszahlungen, weil das Kapital in der Zwischenzeit Zinsen bringt. Für Zahlungen am Jahresanfang (vorschüssig) multipliziert man zusätzlich mit qq.

Beispiele

Jemand möchte 1515 Jahre lang jeweils am Jahresende 60006000 € ausgezahlt bekommen. Das Kapital bringt 2 %2\,\% Zinsen. Benötigt werden heute

R0=6000⋅1,0215−11,0215⋅0,02≈77 095,58 EuroR_0 = 6000 \cdot \frac{1{,}02^{15} - 1}{1{,}02^{15} \cdot 0{,}02} \approx 77\,095{,}58\,\text{Euro}

Ausgezahlt werden insgesamt 15⋅6000=90 00015 \cdot 6000 = 90\,000 €, die Differenz stammt aus den Zinsen.

Wie lange reichen 50 00050\,000 € bei 3 %3\,\%, wenn jährlich 60006000 € entnommen werden? Löst man die Formel nach nn auf, ergibt sich

n=−ln⁡(1−R0⋅(q−1)r)ln⁡q=−ln⁡(1−50 000⋅0,036000)ln⁡1,03≈9,73n = -\frac{\ln\left(1 - \frac{R_0 \cdot (q - 1)}{r}\right)}{\ln q} = -\frac{\ln\left(1 - \frac{50\,000 \cdot 0{,}03}{6000}\right)}{\ln 1{,}03} \approx 9{,}73

Es gibt also 99 volle Auszahlungen; für 99 Raten hätten 6000⋅1,039−11,039⋅0,03≈46 716,656000 \cdot \frac{1{,}03^9 - 1}{1{,}03^9 \cdot 0{,}03} \approx 46\,716{,}65 € gereicht, der Rest reicht für eine kleinere zehnte Zahlung.

Typische Fehler

  • Rentenbarwert und Rentenendwert verwechseln. Der Barwert ist der Betrag zu Beginn, der Endwert das Guthaben am Ende eines Sparplans.
  • Den Faktor qnq^n im Nenner vergessen. Dann erhält man den Endwert statt des Barwerts.
  • Die Auszahlungen einfach addieren und die Zinsen ignorieren: 90 00090\,000 € wären deutlich zu viel.

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