Formelfritz
Meine Listen

Absoluter und relativer Fehler

Absoluter und relativer Fehler

Mittelstufe
Δx=∣x~−x∣δ=Δx∣x∣\Delta x = |\tilde{x} - x| \qquad \delta = \frac{\Delta x}{|x|}

Voraussetzung: x≠0x \neq 0 (für den relativen Fehler)

xx
exakter (wahrer) Wert
x~\tilde{x}
Näherungswert, z.B. ein gerundeter oder gemessener Wert
Δx\Delta x
absoluter Fehler, in derselben Einheit wie x
δ\delta
relativer Fehler, ohne Einheit, oft in Prozent angegeben

Der absolute Fehler ist der Abstand zum wahren Wert, der relative Fehler setzt ihn ins Verhältnis zum wahren Wert.

Erklärung

Gerundete oder gemessene Werte weichen vom wahren Wert ab. Wie groß der Fehler ist, kann man auf zwei Arten angeben:

  • Der absolute Fehler Δx\Delta x ist der Abstand zwischen Näherungswert und wahrem Wert. Er hat dieselbe Einheit wie der Wert selbst.
  • Der relative Fehler δ\delta teilt den absoluten Fehler durch den Betrag des wahren Werts. Er hat keine Einheit und wird meist in Prozent angegeben.

Der relative Fehler zeigt, wie genau ein Wert wirklich ist: 1 mm1\,\text{mm} Abweichung ist bei einer Schraube viel, bei einer Zimmerwand sehr wenig.

Kennt man den wahren Wert nicht, teilt man in der Praxis durch den Näherungswert. Bei kleinen Fehlern ändert das kaum etwas.

Beim Runden auf nn Nachkommastellen ist der absolute Fehler höchstens eine halbe Einheit der letzten Stelle, also 0,5⋅10−n0{,}5 \cdot 10^{-n}. Auf zwei Nachkommastellen gerundet heißt das: höchstens 0,0050{,}005.

Beispiele

Man rechnet mit π≈3,14\pi \approx 3{,}14:

Δx=∣3,14−π∣≈0,00159δ=0,00159π≈0,051 %\Delta x = |3{,}14 - \pi| \approx 0{,}00159 \qquad \delta = \frac{0{,}00159}{\pi} \approx 0{,}051\,\%

Zwei Messungen im Vergleich: Ein Brett von 2 m2\,\text{m} Länge wird mit 2,03 m2{,}03\,\text{m} gemessen, ein Stift von 15 cm15\,\text{cm} mit 15,3 cm15{,}3\,\text{cm}.

Brett: Δx=0,03 m, δ=0,032=1,5 %\text{Brett: } \Delta x = 0{,}03\,\text{m},\ \delta = \frac{0{,}03}{2} = 1{,}5\,\%Stift: Δx=0,3 cm, δ=0,315=2 %\text{Stift: } \Delta x = 0{,}3\,\text{cm},\ \delta = \frac{0{,}3}{15} = 2\,\%

Der absolute Fehler beim Stift ist mit 3 mm3\,\text{mm} zehnmal kleiner als beim Brett (3 cm3\,\text{cm}), relativ ist die Stiftmessung aber ungenauer.

Typische Fehler

  • Das Vorzeichen behalten: Der absolute Fehler ist ein Abstand und deshalb nie negativ.
  • Absolute Fehler verschiedener Größen direkt vergleichen. Aussagekräftig für die Genauigkeit ist der relative Fehler.
  • Beim relativen Fehler die Einheit stehen lassen: 0,03 m2 m=0,015=1,5 %\frac{0{,}03\,\text{m}}{2\,\text{m}} = 0{,}015 = 1{,}5\,\%, ohne Meter.

Verwandte Formeln