Brüche addieren und subtrahieren

Unterstufe

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $d \neq 0$

$a, c$: Zähler der beiden Brüche
$b, d$: Nenner der beiden Brüche, nicht null

Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt und die Zähler verrechnet.

Erklärung

Brüche kann man nur dann direkt addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Nenner haben. Dann rechnet man nur mit den Zählern, der Nenner bleibt gleich.

Haben die Brüche verschiedene Nenner, macht man sie zuerst gleichnamig: Man erweitert beide Brüche so, dass sie denselben Nenner bekommen. Die Formel benutzt dafür einfach das Produkt $b \cdot d$ der beiden Nenner.

Oft geht es mit kleineren Zahlen: Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Dann muss man am Ende weniger kürzen.

Die Nenner dürfen nicht null sein, weil man durch null nicht teilen kann.

Beispiele

Gleiche Nenner, nur die Zähler addieren und am Ende kürzen:

\frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Verschiedene Nenner, der Hauptnenner ist $12$ :

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

Subtraktion mit dem Hauptnenner $12$ :

\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

Mit der Formel und dem Nenner $6 \cdot 4 = 24$ kommt dasselbe heraus, man muss aber noch kürzen:

\frac{5 \cdot 4 - 6 \cdot 1}{6 \cdot 4} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}

Typische Fehler

Zähler und Nenner getrennt addieren: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$ ist falsch. Richtig ist $\frac{7}{12}$ .
Nur den Nenner anpassen, aber den Zähler vergessen: Beim Erweitern von $\frac{1}{3}$ auf den Nenner $12$ wird auch der Zähler mit $4$ multipliziert, also $\frac{4}{12}$ .
Am Ende nicht kürzen: $\frac{6}{9}$ ist richtig, aber vollständig gekürzt heißt das Ergebnis $\frac{2}{3}$ .

Brüche addieren und subtrahieren