Mischungsrechnung

Mittelstufe

c_M = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2}{m_1 + m_2}

Voraussetzung: $m_1, m_2 \geq 0,$ $m_1 + m_2 > 0$

$m_1, m_2$: Mengen der beiden Sorten (z.B. in g, ml oder kg)
$c_1, c_2$: Gehalt (Konzentration in %) oder Preis pro Mengeneinheit der beiden Sorten
$c_M$: Gehalt oder Preis pro Mengeneinheit der Mischung

Der Gehalt einer Mischung ist der nach den Mengen gewichtete Mittelwert der Gehalte der einzelnen Sorten.

Erklärung

Bei einer Mischungsaufgabe werden zwei Sorten zusammengegeben, z.B. zwei Salzlösungen mit verschiedenem Salzgehalt oder zwei Kaffeesorten mit verschiedenem Preis. Gesucht ist der Gehalt (oder Preis) der Mischung, oder umgekehrt die Menge, die man von einer Sorte braucht.

Die Idee: Die Menge des gelösten Stoffs (oder der Gesamtpreis) bleibt beim Mischen erhalten. Links und rechts steht also dasselbe:

m_1 c_1 + m_2 c_2 = (m_1 + m_2) \cdot c_M

Teilt man durch die Gesamtmenge, erhält man die Formel. Der Mischwert liegt immer zwischen $c_1$ und $c_2$ , und zwar näher an der Sorte, von der man mehr nimmt.

Für das Mischungsverhältnis gibt es das Mischungskreuz:

m_1 : m_2 = (c_2 - c_M) : (c_M - c_1)

Wasser zählt als Sorte mit dem Gehalt $0\,\%$ .

Beispiele

$300\,\text{g}$ Salzlösung mit $10\,\%$ Salz werden mit $200\,\text{g}$ Lösung mit $25\,\%$ Salz gemischt:

c_M = \frac{300 \cdot 10 + 200 \cdot 25}{300 + 200} = \frac{8000}{500} = 16

Die Mischung hat $16\,\%$ Salz. Probe mit dem Mischungskreuz: $(25 - 16) : (16 - 10) = 9 : 6 = 3 : 2 = 300 : 200$ .

Für eine Kaffeemischung nimmt man $3\,\text{kg}$ zu $12$ € pro kg und $2\,\text{kg}$ zu $17$ € pro kg:

c_M = \frac{3 \cdot 12 + 2 \cdot 17}{3 + 2} = \frac{70}{5} = 14

Die Mischung kostet $14$ € pro kg.

Verdünnen: $400\,\text{ml}$ Sirup mit $40\,\%$ Fruchtanteil sollen mit Wasser auf $25\,\%$ verdünnt werden. Mit $x$ ml Wasser gilt

400 \cdot 40 + x \cdot 0 = (400 + x) \cdot 25 \quad\Rightarrow\quad 16\,000 = 10\,000 + 25x \quad\Rightarrow\quad x = 240

Man braucht $240\,\text{ml}$ Wasser.

Typische Fehler

Einfach den Mittelwert der Gehalte nehmen: $\frac{10 + 25}{2} = 17{,}5\,\%$ stimmt nur bei gleichen Mengen. Im ersten Beispiel sind es $16\,\%$ .
Beim Verdünnen das Wasser vergessen oder ihm einen Gehalt geben. Wasser hat $0\,\%$ , erhöht aber die Gesamtmenge.
Die Formel bei Flüssigkeiten anwenden, deren Volumen sich beim Mischen ändert, etwa Alkohol und Wasser. Dort rechnet man mit Massen statt mit Volumen.

Mischungsrechnung