Vermehrter und verminderter Grundwert

Mittelstufe

G_{\text{neu}} = G \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)

Voraussetzung: $p \geq 0$

$G_{\text{neu}}$: vermehrter oder verminderter Grundwert, der Wert nach der Änderung
$G$: ursprünglicher Grundwert
$p$: Prozentsatz der Zunahme (+) oder Abnahme (−) als Zahl

Ein Wert, der um p % steigt oder sinkt, wird mit dem Änderungsfaktor 1 ± p/100 multipliziert.

Erklärung

Steigt ein Wert um $p\,\%$ , kommt zum Grundwert ( $100\,\%$ ) noch der Anteil $p\,\%$ dazu. Der neue Wert ist dann $(100 + p)\,\%$ des alten. Das ist der vermehrte Grundwert. Sinkt der Wert um $p\,\%$ , bleiben $(100 - p)\,\%$ übrig, der verminderte Grundwert.

Den Faktor $q = 1 + \frac{p}{100}$ bzw. $q = 1 - \frac{p}{100}$ nennt man Änderungsfaktor (bei Zunahme auch Wachstumsfaktor). Mit ihm braucht man nur eine Rechnung statt zwei:

$+8\,\%$ : $q = 1{,}08$
$-25\,\%$ : $q = 0{,}75$

Rückwärts rechnet man durch $q$ : $G = \frac{G_{\text{neu}}}{q}$ .

Eine Abnahme um mehr als $100\,\%$ ergibt keinen Sinn, deshalb muss bei einer Abnahme zusätzlich $p \leq 100$ gelten.

Beispiele

Eine Miete von $250$ € steigt um $8\,\%$ :

G_{\text{neu}} = 250 \cdot 1{,}08 = 270

Eine Jacke kostet $60$ €, im Schlussverkauf gibt es $25\,\%$ Rabatt:

G_{\text{neu}} = 60 \cdot \left(1 - \frac{25}{100}\right) = 60 \cdot 0{,}75 = 45

Nach einer Preiserhöhung um $20\,\%$ kostet ein Ticket $72$ €. Vorher kostete es

G = \frac{72}{1{,}2} = 60

also $60$ €.

Typische Fehler

Beim Zurückrechnen den Prozentsatz abziehen: $72$ € minus $20\,\%$ ergibt nicht den alten Preis, weil sich die $20\,\%$ auf den alten Preis beziehen. Richtig ist $72 : 1{,}2 = 60$ .
Prozente einfach addieren: $+10\,\%$ und danach $-10\,\%$ führen nicht zurück zum Start. Aus $100$ wird $100 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 99$ .
Den Faktor falsch bilden: Bei $-25\,\%$ ist $q = 0{,}75$ , nicht $0{,}25$ .

Vermehrter und verminderter Grundwert