Zusammenhang von ggT und kgV

Unterstufe

\operatorname{ggT}(a, b) \cdot \operatorname{kgV}(a, b) = a \cdot b

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{N},$ $a, b \geq 1$

$a, b$: natürliche Zahlen ab 1
$\operatorname{ggT}(a, b)$: größter gemeinsamer Teiler von a und b
$\operatorname{kgV}(a, b)$: kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b

Der größte gemeinsame Teiler mal das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ergibt das Produkt der beiden Zahlen.

Erklärung

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Beide hängen eng zusammen: Ihr Produkt ist genau das Produkt der beiden Zahlen. Kennt man den ggT, bekommt man das kgV deshalb mit einer Rechnung:

\operatorname{kgV}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\operatorname{ggT}(a, b)}

Man braucht den ggT zum Kürzen von Brüchen und das kgV als Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.

Mit der Primfaktorzerlegung findet man beide: Für den ggT nimmt man jeden gemeinsamen Primfaktor mit dem kleineren Exponenten, für das kgV jeden vorkommenden Primfaktor mit dem größeren Exponenten.

Beispiele

Für $12 = 2^2 \cdot 3$ und $18 = 2 \cdot 3^2$ :

\operatorname{ggT}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \operatorname{kgV}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36

Probe mit der Formel: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$ .

Das kgV von $8$ und $12$ über den ggT: $\operatorname{ggT}(8, 12) = 4$ , also

\operatorname{kgV}(8, 12) = \frac{8 \cdot 12}{4} = 24

Haben zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer $1$ (sie sind teilerfremd), ist das kgV einfach ihr Produkt: $\operatorname{ggT}(4, 9) = 1$ , $\operatorname{kgV}(4, 9) = 36$ .

Typische Fehler

ggT und kgV verwechseln: Der ggT ist höchstens so groß wie die kleinere Zahl, das kgV mindestens so groß wie die größere.
Als Hauptnenner einfach das Produkt nehmen: Das ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber oft nicht das kleinste. Für $8$ und $12$ reicht $24$ statt $96$ .
Die Formel auf drei Zahlen übertragen: Für drei oder mehr Zahlen gilt sie so nicht.

Zusammenhang von ggT und kgV