Dreisatz

Unterstufe

y_2 = \frac{y_1}{x_1} \cdot x_2

Voraussetzung: $x_1 \neq 0,$ $y$ $proportional zu$ $x$

$x_1, y_1$: bekanntes Wertepaar, z.B. Menge und Preis
$x_2$: neue Menge, für die der Wert gesucht ist
$y_2$: gesuchter Wert zu x₂

Beim proportionalen Dreisatz schließt man vom bekannten Wertepaar auf eine Einheit und dann auf die gesuchte Menge.

Erklärung

Der Dreisatz löst Aufgaben mit einer proportionalen Zuordnung: Verdoppelt man die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere („je mehr, desto mehr"). Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist dabei immer gleich.

Man rechnet in drei Schritten, daher der Name:

Bekanntes Wertepaar aufschreiben.
Auf eine Einheit schließen: durch $x_1$ teilen.
Auf die gesuchte Menge schließen: mit $x_2$ multiplizieren.

Wichtig ist, vorher zu prüfen, ob die Zuordnung wirklich proportional ist. Wenn „je mehr, desto weniger" gilt, braucht man den antiproportionalen Dreisatz.

Beispiele

$3\,\text{kg}$ Äpfel kosten $4{,}50$ €. Was kosten $5\,\text{kg}$ ?

Menge	Preis
$3\,\text{kg}$	$4{,}50$ €
$1\,\text{kg}$	$4{,}50 : 3 = 1{,}50$ €
$5\,\text{kg}$	$1{,}50 \cdot 5 = 7{,}50$ €

Mit der Formel:

y_2 = \frac{4{,}5}{3} \cdot 5 = 7{,}5

Ein Auto braucht $8$ Liter Benzin auf $100\,\text{km}$ . Für $350\,\text{km}$ braucht es

y_2 = \frac{8}{100} \cdot 350 = 28

also $28$ Liter.

Typische Fehler

Den Dreisatz bei Zuordnungen verwenden, die nicht proportional sind, z.B. bei Arbeitern und Arbeitszeit. Dort gilt der antiproportionale Dreisatz.
Im zweiten Schritt multiplizieren statt teilen: Um auf $1\,\text{kg}$ zu kommen, teilt man durch $3$ .
Die Einheiten durcheinanderbringen: In beiden Zeilen muss dieselbe Größe in derselben Einheit stehen.

Dreisatz

Dreisatz

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Beispiele

Typische Fehler

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