Teilbarkeitsregeln

Erklärung

Eine Zahl ist teilbar durch eine andere, wenn bei der Division kein Rest bleibt. Mit den Teilbarkeitsregeln sieht man das, ohne zu dividieren.

Regeln mit den letzten Ziffern (Endstellen):

• durch $2$: die letzte Ziffer ist gerade ($0, 2, 4, 6, 8$),
• durch $5$: die letzte Ziffer ist $0$ oder $5$,
• durch $10$: die letzte Ziffer ist $0$,
• durch $4$: die Zahl aus den letzten zwei Ziffern ist durch $4$ teilbar,
• durch $25$: die letzten zwei Ziffern sind $00$, $25$, $50$ oder $75$,
• durch $8$: die Zahl aus den letzten drei Ziffern ist durch $8$ teilbar.

Regeln mit der Quersumme: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl.

• durch $3$: die Quersumme ist durch $3$ teilbar,
• durch $9$: die Quersumme ist durch $9$ teilbar.

Zusammengesetzte Regel: Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie durch $2$ und durch $3$ teilbar ist.

Herleitung

Warum klappt die Quersumme? Eine dreistellige Zahl mit den Ziffern $a$, $b$, $c$ hat den Wert $100a + 10b + c$. Zieht man die Quersumme ab, bleibt

Dieser Unterschied ist immer durch $9$ und damit auch durch $3$ teilbar. Deshalb lässt die Zahl beim Teilen durch $9$ (oder $3$) denselben Rest wie ihre Quersumme. Für längere Zahlen funktioniert es genauso.

Beispiele

Die Zahl $5832$:

• Quersumme $5 + 8 + 3 + 2 = 18$, also durch $3$ und durch $9$ teilbar.
• Letzte Ziffer $2$, also durch $2$ teilbar, und zusammen mit der $3$ auch durch $6$.
• Letzte zwei Ziffern $32$ sind durch $4$ teilbar, also ist $5832$ durch $4$ teilbar.
• Letzte drei Ziffern $832 = 8 \cdot 104$, also ist $5832$ durch $8$ teilbar.
• Letzte Ziffer ist weder $0$ noch $5$, also nicht durch $5$ teilbar (Rest $2$).

Die Zahl $1245$:

• Quersumme $1 + 2 + 4 + 5 = 12$: durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$. Der Rest bei $9$ ist derselbe wie bei der Quersumme: $12$ geteilt durch $9$ lässt Rest $3$, und $1245$ geteilt durch $9$ auch.
• Letzte Ziffer $5$: durch $5$ teilbar, aber nicht durch $2$.

Typische Fehler

• Bei der $4$ nur auf die letzte Ziffer schauen. $316$ und $326$ enden beide auf $6$, aber nur $316$ ist durch $4$ teilbar ($16$ ja, $26$ nein).
• Die Quersummenregel für andere Zahlen verwenden. Sie gilt nur für $3$ und $9$, nicht für $4$, $6$ oder $7$.
• Teilbarkeiten einfach multiplizieren. $12$ ist durch $4$ und durch $6$ teilbar, aber nicht durch $24$. Das Kombinieren klappt nur mit Zahlen ohne gemeinsamen Teiler, wie $2$ und $3$ bei der $6$.