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Annuität

Annuität

Oberstufe
A=K0⋅qn⋅(q−1)qn−1,q=1+p100A = K_0 \cdot \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1}, \qquad q = 1 + \frac{p}{100}

Voraussetzung: p>0,p > 0, n≥1n \geq 1

AA
Annuität, die gleichbleibende jährliche Rate aus Zinsen und Tilgung
K0K_0
Kreditbetrag (Darlehenssumme) zu Beginn
qq
Zinsfaktor
pp
Zinssatz in Prozent pro Jahr
nn
Laufzeit in Jahren, nach der der Kredit vollständig getilgt ist

Die Annuität ist die feste Jahresrate, mit der ein Kredit K₀ samt Zinsen in n Jahren genau zurückgezahlt wird.

Erklärung

Bei einem Annuitätendarlehen zahlt man jedes Jahr denselben Betrag, die Annuität AA. Sie besteht aus zwei Teilen:

  • den Zinsen auf die aktuelle Restschuld und
  • der Tilgung, die die Restschuld verringert.

Da die Restschuld sinkt, werden die Zinsen von Jahr zu Jahr kleiner und die Tilgung entsprechend größer. Die Summe bleibt gleich.

Die Annuität ist so gewählt, dass der Kredit nach genau nn Jahren abbezahlt ist. Gleichwertig: Der Kreditbetrag K0K_0 ist der Rentenbarwert aller nn Raten. Den Bruch qn(q−1)qn−1\frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1} nennt man Annuitätenfaktor. Die Formel gilt für jährliche Raten am Jahresende mit einem Jahreszins.

Herleitung

Ohne Zahlungen wüchse die Schuld auf K0⋅qnK_0 \cdot q^n. Die Raten wachsen wie bei einem Sparplan auf A⋅qn−1q−1A \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}. Am Ende soll beides gleich sein:

K0⋅qn=A⋅qn−1q−1⇒A=K0⋅qn(q−1)qn−1K_0 \cdot q^n = A \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad\Rightarrow\quad A = K_0 \cdot \frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1}

Beispiele

Ein Kredit über 10 00010\,000 € soll bei 5 %5\,\% Zinsen in 55 Jahren getilgt werden:

A=10 000⋅1,055⋅0,051,055−1≈2309,75 EuroA = 10\,000 \cdot \frac{1{,}05^5 \cdot 0{,}05}{1{,}05^5 - 1} \approx 2309{,}75\,\text{Euro}

Insgesamt zahlt man 5⋅A≈11 548,745 \cdot A \approx 11\,548{,}74 €, davon sind 1548,741548{,}74 € Zinsen.

Eine Baufinanzierung über 200 000200\,000 € bei 3,5 %3{,}5\,\% und 2525 Jahren Laufzeit:

A=200 000⋅1,03525⋅0,0351,03525−1≈12 134,81 EuroA = 200\,000 \cdot \frac{1{,}035^{25} \cdot 0{,}035}{1{,}035^{25} - 1} \approx 12\,134{,}81\,\text{Euro}

Das sind etwa 1011,231011{,}23 € pro Monat, wenn man die Jahresrate einfach durch 1212 teilt. Banken rechnen bei Monatsraten genauer mit monatlicher Verzinsung, das Ergebnis weicht dann leicht ab.

Typische Fehler

  • Nur die Zinsen des ersten Jahres und die Tilgung K0n\frac{K_0}{n} addieren. Das ergibt 500+2000=2500500 + 2000 = 2500 € statt 2309,752309{,}75 €, denn die Zinsen sinken mit der Restschuld.
  • qnq^n im Zähler vergessen. Dann erhält man die Rate eines Sparplans mit Endwert K0K_0.
  • Mit pp statt mit p100\frac{p}{100} rechnen: Bei 5 %5\,\% ist q−1=0,05q - 1 = 0{,}05.

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