Primfaktorzerlegung

Unterstufe

n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_r^{k_r}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$n$: die zu zerlegende natürliche Zahl
$p_1, \ldots, p_r$: verschiedene Primzahlen, der Größe nach geordnet
$k_1, \ldots, k_r$: Exponenten, wie oft jeder Primfaktor vorkommt (mindestens 1)

Jede natürliche Zahl ab 2 lässt sich auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.

Erklärung

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat: $1$ und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \ldots$ Die $1$ ist keine Primzahl.

Jede natürliche Zahl ab $2$ ist entweder selbst eine Primzahl oder ein Produkt aus Primzahlen. Diese Zerlegung ist eindeutig: Bis auf die Reihenfolge gibt es nur eine. Gleiche Faktoren fasst man zu Potenzen zusammen.

So geht man vor:

Die Zahl durch die kleinste Primzahl teilen, die sie ohne Rest teilt.
Mit dem Ergebnis genauso weitermachen.
Aufhören, wenn das Ergebnis selbst eine Primzahl ist.

Die Primfaktorzerlegung hilft beim Kürzen von Brüchen und beim Finden von ggT und kgV.

Beispiele

Zerlegung von $360$ durch fortgesetztes Teilen:

360 \xrightarrow{:2} 180 \xrightarrow{:2} 90 \xrightarrow{:2} 45 \xrightarrow{:3} 15 \xrightarrow{:3} 5

Die $5$ ist eine Primzahl, also ist man fertig:

360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

Genauso ergibt sich $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Ist $97$ eine Primzahl? Man muss nur die Primzahlen testen, deren Quadrat höchstens $97$ ist, also $2, 3, 5, 7$ (denn $10^2 = 100$ ist schon zu groß). Keine davon teilt $97$ ohne Rest. Also ist $97$ eine Primzahl.

Typische Fehler

Mit Zahlen aufhören, die keine Primzahlen sind: $360 = 4 \cdot 9 \cdot 10$ stimmt zwar, ist aber keine Primfaktorzerlegung. $4$ , $9$ und $10$ müssen weiter zerlegt werden.
Die $1$ als Primfaktor aufschreiben. Sie gehört nicht in die Zerlegung.
Einen Faktor beim Zusammenfassen vergessen: Kommt die $2$ dreimal vor, heißt es $2^3$ , nicht $2^2$ .

Primfaktorzerlegung