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Rentenendwert

Rentenendwert

Oberstufe
Rn=r⋅qn−1q−1,q=1+p100R_n = r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q = 1 + \frac{p}{100}

Voraussetzung: p>0,p > 0, n≥1,n \geq 1, Einzahlung jeweils am Ende des Jahres

RnR_n
Rentenendwert, das angesparte Kapital nach n Jahren
rr
Rate, der Betrag, der jedes Jahr eingezahlt wird
qq
Zinsfaktor
pp
Zinssatz in Prozent pro Jahr
nn
Anzahl der Jahre und damit der Raten

Zahlt man n Jahre lang jeweils am Jahresende r ein, wächst das Guthaben mit Zinseszins auf r · (qⁿ − 1)/(q − 1).

Erklärung

Bei einem Sparplan zahlt man regelmäßig denselben Betrag rr ein, die Rate. Jede Rate wird verzinst, aber unterschiedlich lange: Die erste Rate liegt am längsten auf dem Konto, die letzte gar nicht. Der Rentenendwert RnR_n ist das gesamte Guthaben am Ende.

Die Formel gilt für nachschüssige Raten, die jeweils am Jahresende eingezahlt werden. Bei vorschüssigen Raten am Jahresanfang wird jede Rate ein Jahr länger verzinst:

Rnvor=r⋅q⋅qn−1q−1R_n^{\text{vor}} = r \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

Zinssatz und Zahlungsabstand müssen zusammenpassen; die Formel hier gilt für jährliche Raten mit Jahreszins. Für p=0p = 0 gibt es keine Zinsen, dann ist einfach Rn=n⋅rR_n = n \cdot r.

Herleitung

Die Rate aus dem ersten Jahr wird noch n−1n - 1 Jahre verzinst, die aus dem zweiten Jahr n−2n - 2 Jahre usw. Das Guthaben ist eine geometrische Summe:

Rn=r⋅qn−1+r⋅qn−2+…+r⋅q+r=r⋅qn−1q−1R_n = r \cdot q^{n-1} + r \cdot q^{n-2} + \ldots + r \cdot q + r = r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

Beispiele

Jemand spart 1010 Jahre lang jeweils am Jahresende 12001200 € bei 3 %3\,\% Zinsen:

R10=1200⋅1,0310−10,03≈13 756,66 EuroR_{10} = 1200 \cdot \frac{1{,}03^{10} - 1}{0{,}03} \approx 13\,756{,}66\,\text{Euro}

Eingezahlt wurden 10⋅1200=12 00010 \cdot 1200 = 12\,000 €, die Zinsen machen also 1756,661756{,}66 € aus. Werden die Raten am Jahresanfang gezahlt, ergeben sich 1200⋅1,03⋅1,0310−10,03≈14 169,351200 \cdot 1{,}03 \cdot \frac{1{,}03^{10} - 1}{0{,}03} \approx 14\,169{,}35 €.

Welche Jahresrate braucht man, um in 88 Jahren bei 2,5 %2{,}5\,\% auf 20 00020\,000 € zu kommen? Umgestellt nach rr:

r=Rn⋅q−1qn−1=20 000⋅0,0251,0258−1≈2289,35 Euror = R_n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1} = 20\,000 \cdot \frac{0{,}025}{1{,}025^8 - 1} \approx 2289{,}35\,\text{Euro}

Typische Fehler

  • Mit pp statt mit q−1=p100q - 1 = \frac{p}{100} im Nenner rechnen. Bei 3 %3\,\% ist der Nenner 0,030{,}03.
  • Nachschüssig und vorschüssig verwechseln. Am Jahresanfang eingezahlte Raten bringen den zusätzlichen Faktor qq.
  • Jede Rate gleich lang verzinsen, also n⋅r⋅qnn \cdot r \cdot q^n rechnen.
  • Monatliche Raten mit einem Jahreszins in die Formel einsetzen, ohne Zins oder Raten umzurechnen.

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