Brüche kürzen und erweitern

Unterstufe

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Voraussetzung: $b \neq 0,$ $k \neq 0$

$a$: Zähler
$b$: Nenner, nicht null
$k$: Zahl, mit der erweitert oder durch die gekürzt wird, nicht null

Multipliziert oder dividiert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

Erklärung

Ein Bruch behält seinen Wert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl $k$ multipliziert oder durch dieselbe Zahl teilt.

Erweitern: Zähler und Nenner mit $k$ multiplizieren. Das braucht man, um Brüche gleichnamig zu machen.
Kürzen: Zähler und Nenner durch $k$ teilen. So werden die Zahlen kleiner.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer $1$ mehr haben. Am schnellsten geht das mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT).

$k$ darf nicht null sein, sonst stünde im Nenner eine Null.

Beispiele

Kürzen mit dem ggT von $12$ und $18$ , also mit $6$ :

\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}

Es geht auch schrittweise, z.B. erst durch $2$ zu $\frac{6}{9}$ , dann durch $3$ zu $\frac{2}{3}$ .

Erweitern mit $5$ , z.B. um auf den Nenner $20$ zu kommen:

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}

Typische Fehler

Aus Summen kürzen: $\frac{2+4}{2+5}$ darf man nicht zu $\frac{4}{5}$ kürzen. Richtig ist $\frac{6}{7}$ . Kürzen darf man nur Faktoren, keine Summanden.
Nur Zähler oder nur Nenner verändern: Dann ändert sich der Wert des Bruchs.
Nicht vollständig kürzen: $\frac{6}{9}$ lässt sich noch durch $3$ kürzen.

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