Effektiver Jahreszins

Oberstufe

p_{\text{eff}} = \left( \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^m - 1 \right) \cdot 100

Voraussetzung: $m \in \mathbb{N},$ $m \geq 1,$ $p > -100 m$

$p_{\text{eff}}$: effektiver Jahreszins in Prozent
$p$: nominaler Jahreszins in Prozent
$m$: Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr, z.B. 12 bei monatlicher Verzinsung

Werden Zinsen mehrmals im Jahr gutgeschrieben, wächst das Kapital stärker; der effektive Jahreszins rechnet das auf ein Jahr um.

Erklärung

Banken geben Zinsen meist als Nominalzins pro Jahr an, schreiben sie aber oft öfter gut, z.B. monatlich. Pro Zeitraum gibt es dann den Anteil $\frac{p}{m}\,\%$ . Weil die Zinsen schon im Laufe des Jahres mitverzinst werden, wächst das Kapital etwas stärker, als der Nominalzins vermuten lässt.

Der effektive Jahreszins ist der Zinssatz, der bei einer einzigen Gutschrift pro Jahr denselben Endbetrag liefern würde. Mit ihm kann man Angebote mit unterschiedlicher Gutschriftshäufigkeit fair vergleichen.

Bei $m = 1$ stimmen Nominal- und Effektivzins überein.
Je größer $m$ , desto größer der Effektivzins. Er steigt aber nicht beliebig, sondern nähert sich der stetigen Verzinsung.

Hinweis: Bei Verbraucherkrediten ist der gesetzlich vorgeschriebene „effektive Jahreszins“ weiter gefasst. Er enthält neben der Zinsgutschrift auch Gebühren und andere Kosten. Die Formel hier erfasst nur den Effekt der unterjährigen Verzinsung.

Beispiele

Ein Konto bringt nominal $6\,\%$ , die Zinsen werden monatlich gutgeschrieben. Pro Monat gibt es $\frac{6}{100 \cdot 12} = 0{,}005$ , also $0{,}5\,\%$ :

p_{\text{eff}} = \left(1{,}005^{12} - 1\right) \cdot 100 \approx 6{,}17

Der effektive Jahreszins beträgt rund $6{,}17\,\%$ .

Nominal $4\,\%$ mit vierteljährlicher Gutschrift ( $1\,\%$ pro Quartal): $p_{\text{eff}} = (1{,}01^4 - 1) \cdot 100 \approx 4{,}06$ . Aus $5000$ € werden in einem Jahr $5000 \cdot 1{,}01^4 \approx 5203{,}02$ € statt $5000 \cdot 1{,}04 = 5200$ €.

Umgekehrt: Welcher Nominalzins mit monatlicher Gutschrift ergibt effektiv $5\,\%$ ? Aus $\left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12} = 1{,}05$ folgt $p = 1200 \cdot \left(\sqrt[12]{1{,}05} - 1\right) \approx 4{,}89$ .

Typische Fehler

Den Jahreszins nicht durch $m$ teilen, also $1{,}06^{12}$ rechnen. Pro Monat gibt es nur ein Zwölftel des Jahreszinses.
Den Effektivzins für kleiner als den Nominalzins halten. Bei positiven Zinsen ist er immer mindestens so groß.
Den Monatszins einfach mal $12$ nehmen und das für den Effektivzins halten. So erhält man den Nominalzins, nicht den Effektivzins.

Effektiver Jahreszins