Stetige Verzinsung

Oberstufe

K(t) = K_0 \cdot e^{r t} = \lim_{m \to \infty} K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m t}

Voraussetzung: $r \in \mathbb{R},$ $t \geq 0$

$K(t)$: Kapital zum Zeitpunkt t
$K_0$: Anfangskapital
$r$: nominaler Zinssatz pro Jahr als Dezimalzahl, z.B. 0,05 für 5 %
$t$: Zeit in Jahren, auch nicht ganzzahlig
$m$: Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Bei stetiger Verzinsung wächst ein Kapital wie K₀ · e^(rt), der Grenzfall unendlich häufiger Zinsgutschrift.

Erklärung

Bei der gewöhnlichen Zinseszinsrechnung werden Zinsen einmal im Jahr gutgeschrieben, bei unterjähriger Verzinsung $m$ -mal. Lässt man $m$ immer größer werden, erhält man im Grenzfall die stetige Verzinsung: Zinsen werden in jedem Moment gutgeschrieben und sofort mitverzinst.

Grundlage ist der Grenzwert

\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = e^r

Das Kapital folgt dann der Exponentialfunktion $K(t) = K_0 e^{rt}$ . Es erfüllt die Differentialgleichung $K'(t) = r \cdot K(t)$ : Die momentane Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Kapital.

Wichtige Zusammenhänge:

Effektiver Jahreszins: $p_{\text{eff}} = (e^r - 1) \cdot 100$ .
Ein jährlicher Zinssatz $p$ entspricht dem stetigen Zinssatz $r = \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ .
Verdopplungszeit: $t_2 = \frac{\ln 2}{r}$ .

Stetige Verzinsung wird vor allem in der Finanzmathematik verwendet, z.B. für die Bewertung von Anleihen und Optionen, weil sich mit $e^{rt}$ leichter rechnen lässt.

Beispiele

$1000$ € werden $10$ Jahre lang mit $r = 0{,}05$ stetig verzinst:

K(10) = 1000 \cdot e^{0{,}05 \cdot 10} = 1000 \cdot e^{0{,}5} \approx 1648{,}72\,\text{Euro}

Mit jährlicher Gutschrift wären es $1000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89$ €. Der effektive Jahreszins der stetigen Verzinsung ist $(e^{0{,}05} - 1) \cdot 100 \approx 5{,}127\,\%$ .

Verdopplungszeit bei $r = 0{,}05$ :

t_2 = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}86 \text{ Jahre}

Umgekehrt entsprechen $5\,\%$ mit jährlicher Gutschrift einem stetigen Zinssatz von $\ln(1{,}05) \approx 0{,}04879$ , also etwa $4{,}879\,\%$ .

Typische Fehler

Den Zinssatz in Prozent einsetzen: $e^{5 \cdot 10}$ statt $e^{0{,}05 \cdot 10}$ .
Stetigen und jährlichen Zinssatz gleichsetzen. $r = 0{,}05$ stetig liefert mehr als $5\,\%$ jährlich.
Die stetige Verzinsung für unbegrenzt ertragreich halten. Auch bei unendlich vielen Gutschriften bleibt der Effektivzins endlich, bei $r = 0{,}05$ etwa $5{,}127\,\%$ .

Stetige Verzinsung