Trigonometrie

Additionstheorem für den Kosinus

Oberstufe

\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y

$x, y$: beliebige Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Kosinus einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich durch Sinus und Kosinus der einzelnen Winkel ausdrücken.

Additionstheorem für den Sinus

Oberstufe

\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y

$x, y$: beliebige Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich durch Sinus und Kosinus der einzelnen Winkel ausdrücken.

Additionstheorem für den Tangens

Oberstufe

\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}

Voraussetzung: $\tan x, \tan y$ $und$ $\tan(x \pm y)$ $definiert, d.h.$ $\cos x \neq 0,$ $\cos y \neq 0,$ $\cos(x \pm y) \neq 0$

$x, y$: Winkel, für die alle vorkommenden Tangenswerte definiert sind

Der Tangens einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich allein aus den Tangenswerten der einzelnen Winkel berechnen.

Arkusfunktionen

Oberstufe

\begin{aligned} \arcsin&\colon [-1, 1] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] \\ \arccos&\colon [-1, 1] \to [0, \pi] \\ \arctan&\colon \mathbb{R} \to \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}

$\arcsin x$: der Winkel zwischen −π/2 und π/2, dessen Sinus x ist
$\arccos x$: der Winkel zwischen 0 und π, dessen Kosinus x ist
$\arctan x$: der Winkel zwischen −π/2 und π/2 (ohne Ränder), dessen Tangens x ist
$x$: der gegebene Wert von Sinus, Kosinus oder Tangens

Die Arkusfunktionen kehren Sinus, Kosinus und Tangens auf einem festen Winkelbereich um und liefern so den Winkel.

Doppelwinkelformel für den Kosinus

Oberstufe

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)
$\cos^2 x,\ \sin^2 x$: Quadrate der Werte, also (cos x)² und (sin x)²

Der Kosinus des doppelten Winkels ist cos² x − sin² x; es gibt zwei weitere gleichwertige Formen.

Doppelwinkelformel für den Sinus

Oberstufe

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus des doppelten Winkels ist das Doppelte des Produkts aus Sinus und Kosinus des einfachen Winkels.

Doppelwinkelformel für den Tangens

Oberstufe

\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $x \neq \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2},$ $k \in \mathbb{Z}$

$x$: Winkel, für den tan x und tan(2x) definiert sind
$k$: beliebige ganze Zahl

Der Tangens des doppelten Winkels lässt sich aus dem Tangens des einfachen Winkels berechnen.

Dreiecksberechnung mit Sinus- und Kosinussatz (SSW-Fall)

Oberstufe

\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a}, \qquad c = b \cos \alpha \pm \sqrt{a^2 - b^2 \sin^2 \alpha}

Voraussetzung: $a, b > 0,$ $0^\circ < \alpha < 180^\circ$

$a$: gegebene Seite gegenüber dem gegebenen Winkel α
$b$: zweite gegebene Seite
$\alpha$: gegebener Winkel, er liegt der Seite a gegenüber
$\beta$: gesuchter Winkel gegenüber von b
$c$: gesuchte dritte Seite

Sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben, gibt es null, eine oder zwei Lösungen.

Dreifachwinkelformeln

Oberstufe

\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x, \quad \cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)
$\sin^3 x,\ \cos^3 x$: dritte Potenzen der Werte, also (sin x)³ und (cos x)³

Sinus und Kosinus des dreifachen Winkels sind Polynome dritten Grades in sin x bzw. cos x.

Exakte Werte von Sinus, Kosinus und Tangens

Mittelstufe

\sin \alpha = \frac{\sqrt{n}}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{\sqrt{4 - n}}{2}

Voraussetzung: $(\alpha, n) \in \{(0^\circ, 0), (30^\circ, 1), (45^\circ, 2), (60^\circ, 3), (90^\circ, 4)\}$

$\alpha$: einer der besonderen Winkel 0°, 30°, 45°, 60° oder 90°
$n$: Zählhilfe von 0 bis 4, passend zum Winkel

Für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° haben Sinus, Kosinus und Tangens exakte Werte, die man sich mit √n/2 merken kann.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Sinus

Mittelstufe

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma

Voraussetzung: $\gamma$ $ist der Winkel zwischen$ $a$ $und$ $b,$ $0^\circ < \gamma < 180^\circ$

$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$a, b$: zwei Seiten des Dreiecks
$\gamma$: Winkel, den die Seiten a und b einschließen

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das halbe Produkt zweier Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Halbwinkelformeln

Oberstufe

\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}, \quad \cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

Voraussetzung: $Vorzeichen nach dem Quadranten von$ $\tfrac{x}{2}$

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)
$\tfrac{x}{2}$: der halbe Winkel, dessen Sinus oder Kosinus gesucht ist

Sinus und Kosinus des halben Winkels lassen sich aus dem Kosinus des ganzen Winkels berechnen.

Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Ankathete}$: Kathete, die am Winkel α anliegt
$\text{Hypotenuse}$: längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse.

Kosinussatz

Mittelstufe

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma

Voraussetzung: $beliebiges$ $Dreieck$ $;$ $\gamma$ $ist der Winkel zwischen$ $a$ $und$ $b$

$a, b$: zwei Seiten des Dreiecks, die den Winkel γ einschließen
$c$: dritte Seite, sie liegt dem Winkel γ gegenüber
$\gamma$: Innenwinkel zwischen den Seiten a und b

In jedem Dreieck lässt sich die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnen.

Kotangens

Oberstufe

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}

Voraussetzung: $\sin x \neq 0,$ $d.h.$ $x \neq k\pi,$ $k \in \mathbb{Z};$ $die Form$ $\tfrac{1}{\tan x}$ $zusätzlich nur für$ $\cos x \neq 0$

$x$: Winkel, für den der Sinus nicht 0 ist
$k$: beliebige ganze Zahl

Der Kotangens ist Kosinus durch Sinus und damit der Kehrwert des Tangens.

Periodizität von Sinus, Kosinus und Tangens

Oberstufe

\begin{gathered} \sin(x + 2k\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x \\ \tan(x + k\pi) = \tan x \end{gathered}

Voraussetzung: $k \in \mathbb{Z};$ $beim Tangens$ $x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi,$ $m \in \mathbb{Z}$

$x$: Winkel im Bogenmaß
$k, m$: beliebige ganze Zahlen

Sinus und Kosinus wiederholen sich nach 2π (360°), der Tangens schon nach π (180°).

Potenzreduktion für Sinus und Kosinus

Oberstufe

\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

$x$: beliebige reelle Zahl (Winkel im Bogenmaß)

Die Quadrate von Sinus und Kosinus lassen sich linear durch den Kosinus des doppelten Winkels ausdrücken.

Produkte von Sinus und Kosinus in Summen umformen

Oberstufe

\sin x \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin(x - y) + \sin(x + y)\right]

$x, y$: beliebige reelle Zahlen (Winkel im Bogenmaß oder Gradmaß)

Produkte aus Sinus- und Kosinuswerten lassen sich als halbe Summe oder Differenz von Sinus- bzw. Kosinuswerten schreiben.

Sinus im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Gegenkathete}$: Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt
$\text{Hypotenuse}$: längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Mittelstufe

P = (\cos \alpha \mid \sin \alpha)

$P$: Punkt auf dem Einheitskreis (Kreis um den Ursprung mit Radius 1)
$\alpha$: Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke vom Ursprung zu P, gegen den Uhrzeigersinn gemessen

Am Einheitskreis ist der Kosinus eines Winkels die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate des zugehörigen Punkts.

Sinus und Kosinus am Komplementwinkel

Mittelstufe

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

$\alpha$: Winkel (hier im Gradmaß angegeben)

Der Sinus des Komplementwinkels 90° − α ist gleich dem Kosinus von α, und umgekehrt.

Sinussatz

Mittelstufe

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Voraussetzung: $beliebiges Dreieck mit$ $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$a, b, c$: Seitenlängen des Dreiecks
$\alpha, \beta, \gamma$: Innenwinkel; α liegt der Seite a gegenüber, β der Seite b, γ der Seite c

In jedem Dreieck ist das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich.

Summen von Sinus und Kosinus in Produkte umformen

Oberstufe

\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}

$x, y$: beliebige reelle Zahlen (Winkel im Bogenmaß oder Gradmaß)

Summen und Differenzen von Sinus- oder Kosinuswerten lassen sich als Produkte mit halber Summe und halber Differenz schreiben.

Symmetrie von Sinus und Kosinus

Oberstufe

\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse.

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Mittelstufe

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Voraussetzung: $\cos \alpha \neq 0,$ $d.h.$ $\alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ,$ $k \in \mathbb{Z}$

$\alpha$: Winkel, für den der Kosinus nicht 0 ist
$k$: beliebige ganze Zahl

Der Tangens eines Winkels ist der Sinus geteilt durch den Kosinus, sofern der Kosinus nicht null ist.

Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Gegenkathete}$: Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt
$\text{Ankathete}$: Kathete, die am Winkel α anliegt

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

Trigonometrischer Pythagoras

Mittelstufe

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

$\alpha$: beliebiger Winkel
$\sin^2 \alpha,\ \cos^2 \alpha$: Quadrate der Werte, also (sin α)² und (cos α)²

Für jeden Winkel ergibt das Quadrat des Sinus plus das Quadrat des Kosinus genau 1.

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

Mittelstufe

x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi

$x$: Winkel im Bogenmaß (Einheit rad, oft ohne Einheit geschrieben)
$\alpha$: derselbe Winkel im Gradmaß
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Ein Winkel im Gradmaß wird ins Bogenmaß umgerechnet, indem man ihn durch 180° teilt und mit π multipliziert.