Additionstheorem für den Kosinus

Oberstufe

\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y

$x, y$: beliebige Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Kosinus einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich durch Sinus und Kosinus der einzelnen Winkel ausdrücken.

Erklärung

Das Additionstheorem für den Kosinus drückt $\cos(x + y)$ und $\cos(x - y)$ durch Sinus und Kosinus der einzelnen Winkel aus. Es gilt für alle reellen $x$ und $y$ , im Gradmaß wie im Bogenmaß.

Achtung beim Vorzeichen: Das Zeichen auf der rechten Seite ist umgekehrt zu dem in der Klammer ( $\mp$ ).

\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

Herleitung

Die Differenzformel folgt aus der Summenformel mit $-y$ statt $y$ , denn $\cos(-y) = \cos y$ und $\sin(-y) = -\sin y$ . Damit wird aus $-\sin x \sin(-y)$ der Term $+\sin x \sin y$ .

Beispiele

Exakter Wert von $\cos 75^\circ$ mit $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ :

\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Mit $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ und dem Pluszeichen:

\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Setzt man in der Differenzformel $y = x$ , erhält man $\cos 0 = \cos^2 x + \sin^2 x$ , also den trigonometrischen Pythagoras $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Typische Fehler

Das Vorzeichen aus der Klammer übernehmen: In $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ steht − statt +.
Den Kosinus auf die Summe verteilen: $\cos(x + y) \neq \cos x + \cos y$ .
Die Produkte vertauschen: Beim Kosinus stehen gleichartige Produkte ( $\cos x \cos y$ , $\sin x \sin y$ ), nicht gemischte wie beim Sinus.

Additionstheorem für den Kosinus