Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Gegenkathete}$: Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt
$\text{Ankathete}$: Kathete, die am Winkel α anliegt

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α, hervorgehoben sind Gegenkathete und Ankathete

Erklärung

Der Tangens eines spitzen Winkels $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Anders als Sinus und Kosinus kommt die Hypotenuse hier nicht vor. Der Tangens eignet sich deshalb, wenn die beiden Katheten bekannt oder gesucht sind.

In der üblichen Bezeichnung mit $\gamma = 90^\circ$ gilt $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ und $\tan \beta = \frac{b}{a}$ .

Der Tangens kann jede positive Zahl annehmen, auch Werte über $1$ . Er beschreibt eine Steigung: Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Strecke.

Umgestellt:

\text{Gegenkathete} = \text{Ankathete} \cdot \tan \alpha \qquad \text{Ankathete} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\tan \alpha}

Beispiele

Bei $\alpha = 45^\circ$ sind beide Katheten gleich lang:

\tan 45^\circ = 1

Man steht $20\,\text{m}$ von einem Baum entfernt und sieht die Spitze unter einem Winkel von $35^\circ$ . Die Augenhöhe wird vernachlässigt, man denkt sich den Blick also vom Boden aus. Die Entfernung ist die Ankathete, die Baumhöhe die Gegenkathete:

h = 20\,\text{m} \cdot \tan 35^\circ \approx 14{,}0\,\text{m}

Eine Rampe steigt auf $10\,\text{m}$ waagerechter Strecke um $1{,}2\,\text{m}$ an. Ihr Steigungswinkel:

\tan \alpha = \frac{1{,}2}{10} = 0{,}12 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \tan^{-1}(0{,}12) \approx 6{,}84^\circ

Typische Fehler

Bruch umgedreht: $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$ ist nicht $\tan \alpha$ , sondern $\frac{1}{\tan \alpha}$ .
Annehmen, der Tangens könne nicht größer als $1$ sein. Für $\alpha > 45^\circ$ ist $\tan \alpha > 1$ .
Eine Steigung in Prozent direkt als Winkel lesen: $12\,\%$ Steigung bedeutet $\tan \alpha = 0{,}12$ , also $\alpha \approx 6{,}84^\circ$ , nicht $12^\circ$ .
Den Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) statt im Gradmaß (DEG) rechnen lassen.

Tangens im rechtwinkligen Dreieck