Sinus und Kosinus am Komplementwinkel

Mittelstufe

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

$\alpha$: Winkel (hier im Gradmaß angegeben)

Der Sinus des Komplementwinkels 90° − α ist gleich dem Kosinus von α, und umgekehrt.

Rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln α und β = 90° − α: die markierte Kathete ist Gegenkathete von α und Ankathete von β

Erklärung

Zwei Winkel, die zusammen $90^\circ$ ergeben, heißen Komplementwinkel. Der Sinus des einen ist gleich dem Kosinus des anderen:

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha

Der Grund liegt im rechtwinkligen Dreieck: Die beiden spitzen Winkel $\alpha$ und $\beta$ ergänzen sich zu $90^\circ$ , also $\beta = 90^\circ - \alpha$ . Die Gegenkathete von $\alpha$ ist gleichzeitig die Ankathete von $\beta$ . Deshalb gilt $\sin \beta = \cos \alpha$ .

Die Beziehung gilt nicht nur für spitze Winkel, sondern für alle Winkel. Im Bogenmaß lautet sie $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ .

Beispiele

\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

In einem rechtwinkligen Dreieck ist $\alpha = 25^\circ$ , also $\beta = 65^\circ$ . Dann gilt:

\cos 25^\circ = \sin 65^\circ \approx 0{,}9063

Typische Fehler

$\sin(90^\circ - \alpha)$ als $\sin 90^\circ - \sin \alpha = 1 - \sin \alpha$ rechnen. Der Sinus lässt sich nicht auf die Klammer verteilen.
Komplementwinkel ( $90^\circ$ ) mit Supplementwinkel ( $180^\circ$ ) verwechseln. Für $180^\circ - \alpha$ gilt $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ , nicht $\cos \alpha$ .

Sinus und Kosinus am Komplementwinkel