Doppelwinkelformel für den Kosinus

Oberstufe

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)
$\cos^2 x,\ \sin^2 x$: Quadrate der Werte, also (cos x)² und (sin x)²

Der Kosinus des doppelten Winkels ist cos² x − sin² x; es gibt zwei weitere gleichwertige Formen.

Erklärung

Die Doppelwinkelformel für den Kosinus gilt für alle reellen $x$ und hat drei gleichwertige Formen:

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

Welche Form man wählt, hängt davon ab, was bekannt ist: Kennt man nur $\cos x$ , nimmt man die mittlere, kennt man nur $\sin x$ , die rechte.

Stellt man die beiden letzten Formen um, erhält man Formeln, die Quadrate durch den doppelten Winkel ersetzen. Sie sind beim Integrieren wichtig:

\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

Im Additionstheorem $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ setzt man $y = x$ und erhält $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ . Ersetzt man mit $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ entweder $\sin^2 x$ durch $1 - \cos^2 x$ oder $\cos^2 x$ durch $1 - \sin^2 x$ , ergeben sich die beiden anderen Formen.

Beispiele

Gegeben ist $\cos x = 0{,}8$ . Mit der mittleren Form:

\cos(2x) = 2 \cdot 0{,}8^2 - 1 = 1{,}28 - 1 = 0{,}28

Mit $x = 30^\circ$ und der rechten Form:

\cos 60^\circ = 1 - 2 \sin^2 30^\circ = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Typische Fehler

Die $2$ vor den Kosinus ziehen: $\cos(2x) \neq 2 \cos x$ .
Die Reihenfolge vertauschen: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ , nicht $\sin^2 x - \cos^2 x$ .
Bei $2\cos^2 x - 1$ das Quadrat oder die $-1$ vergessen.

Doppelwinkelformel für den Kosinus