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Doppelwinkelformel für den Sinus

Doppelwinkelformel für den Sinus

Oberstufe
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x
xx
beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus des doppelten Winkels ist das Doppelte des Produkts aus Sinus und Kosinus des einfachen Winkels.

Erklärung

Die Doppelwinkelformel drückt den Sinus des doppelten Winkels durch Sinus und Kosinus des einfachen Winkels aus. Sie gilt für alle reellen xx.

Man braucht sie zum Vereinfachen von Termen, zum Lösen trigonometrischer Gleichungen (z.B. sin⁡(2x)=sin⁡x\sin(2x) = \sin x) und in der Analysis, etwa beim Integrieren von sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x).

Herleitung

Im Additionstheorem sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y setzt man y=xy = x:

sin⁡(2x)=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x

Beispiele

Für einen spitzen Winkel xx gilt sin⁡x=0,6\sin x = 0{,}6 und damit cos⁡x=0,8\cos x = 0{,}8:

sin⁡(2x)=2⋅0,6⋅0,8=0,96\sin(2x) = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}96

Mit x=30∘x = 30^\circ:

sin⁡60∘=2sin⁡30∘cos⁡30∘=2⋅12⋅32=32\sin 60^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Typische Fehler

  • Die 22 vor den Sinus ziehen: sin⁡(2x)≠2sin⁡x\sin(2x) \neq 2 \sin x. Bei x=30∘x = 30^\circ ist 2sin⁡30∘=12 \sin 30^\circ = 1, aber sin⁡60∘≈0,866\sin 60^\circ \approx 0{,}866.
  • Den Faktor 22 vergessen: sin⁡(2x)≠sin⁡xcos⁡x\sin(2x) \neq \sin x \cos x.
  • Beim Lösen von Gleichungen durch sin⁡x\sin x oder cos⁡x\cos x teilen und so Lösungen verlieren. Besser ausklammern, z.B. 2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x (2cos⁡x−1)=02 \sin x \cos x - \sin x = \sin x \,(2 \cos x - 1) = 0.

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