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Kotangens

Kotangens

Oberstufe
cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}

Voraussetzung: sin⁡x≠0,\sin x \neq 0, d.h. x≠kπ,x \neq k\pi, k∈Z;k \in \mathbb{Z}; die Form 1tan⁡x\tfrac{1}{\tan x} zusätzlich nur für cos⁡x≠0\cos x \neq 0

xx
Winkel, für den der Sinus nicht 0 ist
kk
beliebige ganze Zahl

Der Kotangens ist Kosinus durch Sinus und damit der Kehrwert des Tangens.

123456−3−2−112xyπ2π
Graph von cot x mit Polstellen bei 0, π und 2π, grau der Graph von tan x

Erklärung

Der Kotangens ist der Quotient aus Kosinus und Sinus. Wo der Tangens existiert und nicht null ist, ist der Kotangens sein Kehrwert.

Er ist überall definiert, wo sin⁡x≠0\sin x \neq 0 ist, also nicht bei 0∘0^\circ, 180∘180^\circ, 360∘360^\circ usw. Bei 90∘90^\circ ist er dagegen definiert und gleich 00, obwohl dort der Tangens nicht existiert. Deshalb ist die Form cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x} die allgemeinere.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel α\alpha:

cot⁡α=AnkatheteGegenkathete\cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}

Weitere Eigenschaften:

  • Komplementwinkel: cot⁡x=tan⁡(90∘−x)\cot x = \tan(90^\circ - x).
  • Periode π\pi (180∘180^\circ), wie beim Tangens.

Die meisten Taschenrechner haben keine Kotangens-Taste. Man rechnet 1tan⁡x\frac{1}{\tan x} oder cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}.

Beispiele

cot⁡45∘=1tan⁡45∘=1\cot 45^\circ = \frac{1}{\tan 45^\circ} = 1cot⁡30∘=cos⁡30∘sin⁡30∘=3212=3\cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}cot⁡90∘=cos⁡90∘sin⁡90∘=01=0\cot 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0

In einem rechtwinkligen Dreieck hat der Winkel α\alpha die Ankathete 8 cm8\,\text{cm} und die Gegenkathete 6 cm6\,\text{cm}:

cot⁡α=86=43\cot \alpha = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Typische Fehler

  • Die Taste tan⁡−1\tan^{-1} für den Kotangens halten. Sie berechnet den Arkustangens (die Umkehrfunktion), nicht den Kehrwert. Bei 20∘20^\circ ist cot⁡20∘=1tan⁡20∘≈2,747\cot 20^\circ = \frac{1}{\tan 20^\circ} \approx 2{,}747, die Taste tan⁡−1\tan^{-1} mit der Eingabe 2020 liefert dagegen einen Winkel.
  • cot⁡90∘\cot 90^\circ für nicht definiert halten, weil tan⁡90∘\tan 90^\circ nicht existiert. Über cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x} erhält man 00.
  • Ankathete und Gegenkathete vertauschen und so den Tangens statt des Kotangens berechnen.

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