Exakte Werte von Sinus, Kosinus und Tangens

Mittelstufe

\sin \alpha = \frac{\sqrt{n}}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{\sqrt{4 - n}}{2}

Voraussetzung: $(\alpha, n) \in \{(0^\circ, 0), (30^\circ, 1), (45^\circ, 2), (60^\circ, 3), (90^\circ, 4)\}$

$\alpha$: einer der besonderen Winkel 0°, 30°, 45°, 60° oder 90°
$n$: Zählhilfe von 0 bis 4, passend zum Winkel

Für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° haben Sinus, Kosinus und Tangens exakte Werte, die man sich mit √n/2 merken kann.

Viertel des Einheitskreises mit den Winkeln 30°, 45° und 60°; die Höhen der Punkte sind die Sinuswerte 1/2, √2/2 und √3/2

Erklärung

Für einige besondere Winkel kann man Sinus und Kosinus ohne Taschenrechner exakt angeben. Merkhilfe: Der Sinus ist $\frac{\sqrt{n}}{2}$ mit $n = 0, 1, 2, 3, 4$ , der Kosinus läuft dieselben Werte rückwärts.

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
Bogenmaß	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert

Den Tangens erhält man als $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ . Bei $90^\circ$ ist $\cos \alpha = 0$ , dort gibt es keinen Tangens.

Herleitung

45°: Ein Quadrat mit Seite $1$ hat die Diagonale $\sqrt{2}$ . Im halben Quadrat ist $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
30° und 60°: Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite $2$ wird durch die Höhe halbiert. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $1$ , $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ und $2$ . Daraus folgen $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ und $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Beispiele

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $10\,\text{cm}$ lang, ein Winkel beträgt $30^\circ$ . Die Gegenkathete ist

10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\,\text{cm}

Eine $8\,\text{m}$ lange Rampe steigt unter $45^\circ$ an. Ihre waagerechte Länge ist

8 \cdot \cos 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\,\text{m}

Typische Fehler

Sinus und Kosinus vertauschen: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , aber $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\tan 30^\circ$ und $\tan 60^\circ$ verwechseln. Der Tangens wächst mit dem Winkel, also ist $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ der größere Wert.
Den Taschenrechner im Bogenmaß-Modus mit Gradzahlen füttern: $\sin 30$ im RAD-Modus ist nicht $\frac{1}{2}$ .

Exakte Werte von Sinus, Kosinus und Tangens