Formelfritz
Meine Listen

Additionstheorem für den Sinus

Additionstheorem für den Sinus

Oberstufe
sin⁡(x±y)=sin⁡xcos⁡y±cos⁡xsin⁡y\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y
x,yx, y
beliebige Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich durch Sinus und Kosinus der einzelnen Winkel ausdrücken.

Erklärung

Das Additionstheorem zeigt, wie man den Sinus einer Summe oder Differenz zweier Winkel aus den Sinus- und Kosinuswerten der einzelnen Winkel berechnet. Es gilt für alle reellen xx und yy, im Gradmaß wie im Bogenmaß. Die Vorzeichen stimmen überein: Oben gilt überall ++, unten überall −-.

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin ysin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

Anwendungen:

  • exakte Werte für Winkel wie 15∘15^\circ oder 75∘75^\circ aus bekannten Werten bei 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ
  • Herleitung der Doppelwinkelformeln (mit y=xy = x)
  • Umformen trigonometrischer Terme, z.B. beim Ableiten oder Integrieren

Herleitung

Die Formel für die Differenz folgt aus der Formel für die Summe, wenn man −y-y statt yy einsetzt. Dabei nutzt man, dass der Kosinus achsensymmetrisch (zur yy-Achse) und der Sinus punktsymmetrisch (zum Ursprung) ist: cos⁡(−y)=cos⁡y\cos(-y) = \cos y und sin⁡(−y)=−sin⁡y\sin(-y) = -\sin y.

Beispiele

Exakter Wert von sin⁡75∘\sin 75^\circ mit 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ:

sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Entsprechend mit 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ:

sin⁡15∘=6−24\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Typische Fehler

  • Den Sinus auf die Summe verteilen: sin⁡(x+y)≠sin⁡x+sin⁡y\sin(x + y) \neq \sin x + \sin y. Gegenbeispiel: sin⁡(30∘+60∘)=sin⁡90∘=1\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1, aber sin⁡30∘+sin⁡60∘=12+32≈1,366\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1{,}366.
  • Sinus- und Kosinus-Additionstheorem vermischen: Beim Sinus stehen gemischte Produkte (sin⁡⋅cos⁡\sin \cdot \cos), beim Kosinus gleichartige (cos⁡⋅cos⁡\cos \cdot \cos und sin⁡⋅sin⁡\sin \cdot \sin).
  • Bei der Differenz die Reihenfolge vertauschen: sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y, nicht cos⁡xsin⁡y−sin⁡xcos⁡y\cos x \sin y - \sin x \cos y.

Verwandte Formeln