Flächeninhalt eines Dreiecks mit Sinus

Mittelstufe

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma

Voraussetzung: $\gamma$ $ist der Winkel zwischen$ $a$ $und$ $b,$ $0^\circ < \gamma < 180^\circ$

$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$a, b$: zwei Seiten des Dreiecks
$\gamma$: Winkel, den die Seiten a und b einschließen

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das halbe Produkt zweier Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Dreieck mit den Seiten a und b und dem eingeschlossenen Winkel γ, gestrichelt die Höhe hₐ = b · sin γ

Erklärung

Mit dieser Formel berechnet man den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Eine Höhe muss man dafür nicht messen.

Wichtig ist, dass $\gamma$ genau der Winkel zwischen den beiden verwendeten Seiten ist. Mit anderen Seiten gilt die Formel entsprechend:

A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \beta

Bei $\gamma = 90^\circ$ ist $\sin \gamma = 1$ , und es bleibt $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ , die bekannte Formel für das rechtwinklige Dreieck.

Die übliche Flächenformel lautet $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$ . Nimmt man $a$ als Grundseite, ist die Höhe $h_a$ die Gegenkathete von $\gamma$ in einem rechtwinkligen Teildreieck mit der Hypotenuse $b$ . Also ist $h_a = b \cdot \sin \gamma$ und damit $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$ . Ist $\gamma$ stumpf, liegt der Fußpunkt der Höhe außerhalb des Dreiecks, auf der Verlängerung von $a$ . Im Teildreieck steht dann der Winkel $180^\circ - \gamma$ , und wegen $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin \gamma$ gilt die Formel weiterhin.

Beispiele

Zwei Seiten sind $6\,\text{cm}$ und $8\,\text{cm}$ lang und schließen einen Winkel von $30^\circ$ ein:

A = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot \sin 30^\circ = 24\,\text{cm}^2 \cdot 0{,}5 = 12\,\text{cm}^2

Ein dreieckiges Grundstück hat zwei Seiten von $5\,\text{m}$ und $7\,\text{m}$ mit einem stumpfen Winkel von $120^\circ$ dazwischen:

A = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{m} \cdot 7\,\text{m} \cdot \sin 120^\circ \approx 15{,}16\,\text{m}^2

Typische Fehler

Einen Winkel verwenden, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt.
Den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen: $a \cdot b \cdot \sin \gamma$ ist die Fläche eines Parallelogramms, nicht des Dreiecks.
Bei stumpfen Winkeln an der Formel zweifeln: $\sin 120^\circ$ ist positiv, die Formel gilt auch hier.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Sinus