Sinus im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Gegenkathete}$: Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt
$\text{Hypotenuse}$: längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α, hervorgehoben sind Gegenkathete und Hypotenuse

Erklärung

Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Der Sinus eines spitzen Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis der Gegenkathete (die Seite, die $\alpha$ gegenüberliegt) zur Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel).

Welche Kathete die Gegenkathete ist, hängt vom gewählten Winkel ab. Deshalb zuerst den Winkel markieren, dann die Seiten benennen.

In der üblichen Bezeichnung mit $\gamma = 90^\circ$ gilt $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ und $\sin \beta = \frac{b}{c}$ .

Da die Hypotenuse die längste Seite ist, liegt $\sin \alpha$ immer zwischen $0$ und $1$ . Umgestellt erhält man:

\text{Gegenkathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \sin \alpha \qquad \text{Hypotenuse} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\sin \alpha}

Den Winkel selbst bekommt man mit der Umkehrfunktion $\sin^{-1}$ (auf dem Taschenrechner oft SHIFT + sin).

Beispiele

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $3\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ und die Hypotenuse $5\,\text{cm}$ . Für den Winkel $\alpha$ gegenüber der Seite $3\,\text{cm}$ gilt:

\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87^\circ

Die Hypotenuse ist $10\,\text{cm}$ lang, der Winkel $\alpha = 30^\circ$ . Gesucht ist die Gegenkathete:

\text{Gegenkathete} = 10\,\text{cm} \cdot \sin 30^\circ = 10\,\text{cm} \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm}

Eine $8\,\text{m}$ lange Rampe ist um $40^\circ$ gegen den Boden geneigt. Wie hoch führt sie? Die Rampe ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete:

h = 8\,\text{m} \cdot \sin 40^\circ \approx 5{,}14\,\text{m}

Typische Fehler

Die falsche Kathete als Gegenkathete nehmen. Die Gegenkathete berührt den Winkel $\alpha$ nicht, sie liegt ihm gegenüber.
Den Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) statt im Gradmaß (DEG) rechnen lassen: Dann ist $\sin 30 \approx -0{,}99$ statt $0{,}5$ .
$\sin^{-1}$ mit $\frac{1}{\sin}$ verwechseln. $\sin^{-1}(0{,}6)$ ist der Winkel, dessen Sinus $0{,}6$ ist, nicht $\frac{1}{0{,}6}$ .
Die Formel im nicht rechtwinkligen Dreieck verwenden. Dort helfen Sinussatz oder Kosinussatz.

Sinus im rechtwinkligen Dreieck