Kosinussatz

Mittelstufe

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma

Voraussetzung: $beliebiges$ $Dreieck$ $;$ $\gamma$ $ist der Winkel zwischen$ $a$ $und$ $b$

$a, b$: zwei Seiten des Dreiecks, die den Winkel γ einschließen
$c$: dritte Seite, sie liegt dem Winkel γ gegenüber
$\gamma$: Innenwinkel zwischen den Seiten a und b

In jedem Dreieck lässt sich die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnen.

Dreieck mit den Seiten a und b, die den Winkel γ einschließen, und der gegenüberliegenden Seite c

Erklärung

Der Kosinussatz gilt in jedem Dreieck. Er braucht zwei Seiten $a$ und $b$ und den Winkel $\gamma$ , den sie einschließen. Die gesuchte Seite $c$ liegt diesem Winkel gegenüber.

Ist $\gamma = 90^\circ$ , wird $\cos \gamma = 0$ , und es bleibt der Satz des Pythagoras $c^2 = a^2 + b^2$ . Der Kosinussatz ist also eine Erweiterung des Pythagoras auf beliebige Dreiecke.

Für die anderen Seiten gilt entsprechend:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos \beta

Sind alle drei Seiten bekannt, stellt man nach dem Kosinus um und erhält einen Winkel:

\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Beispiele

Gegeben sind $a = 5\,\text{cm}$ , $b = 7\,\text{cm}$ und der eingeschlossene Winkel $\gamma = 60^\circ$ :

c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39

c = \sqrt{39}\,\text{cm} \approx 6{,}24\,\text{cm}

Bei einem stumpfen Winkel, z.B. $a = 5\,\text{cm}$ , $b = 7\,\text{cm}$ und $\gamma = 120^\circ$ , ist $\cos 120^\circ = -0{,}5$ negativ. Der abgezogene Term wird negativ, $c^2$ also größer:

c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ = 25 + 49 + 35 = 109

c = \sqrt{109}\,\text{cm} \approx 10{,}44\,\text{cm}

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 4\,\text{cm}$ , $b = 5\,\text{cm}$ und $c = 6\,\text{cm}$ . Gesucht ist der Winkel $\gamma$ gegenüber der längsten Seite:

\cos \gamma = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = 0{,}125 \quad\Rightarrow\quad \gamma \approx 82{,}82^\circ

Typische Fehler

Einen Winkel einsetzen, der nicht zwischen $a$ und $b$ liegt. Im Kosinussatz für $c$ steht immer der Winkel gegenüber von $c$ .
Rechenreihenfolge: $a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$ ist nicht $(a^2 + b^2 - 2ab) \cdot \cos \gamma$ . Erst das Produkt $2ab \cdot \cos \gamma$ bilden, dann abziehen.
Am Ende die Wurzel vergessen: Die Formel liefert $c^2$ , nicht $c$ .
Bei stumpfem $\gamma$ das Vorzeichen übersehen: $\cos \gamma$ ist dann negativ, und $c^2$ wird größer als $a^2 + b^2$ .

Kosinussatz

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Typische Fehler

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