Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Erklärung

Kennt man Sinus und Kosinus eines Winkels, erhält man den Tangens als Quotient:

Die Formel gilt nur, wenn $\cos \alpha \neq 0$ ist. Bei $\alpha = 90^\circ$, $270^\circ$ usw. ist der Kosinus null, und der Tangens ist dort nicht definiert.

Im rechtwinkligen Dreieck passt die Formel zur Definition $\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$. Für beliebige Winkel (ab Klasse 10) werden Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert; dann dient die Formel als Definition des Tangens.

Herleitung

Im rechtwinkligen Dreieck ist $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ und $\cos \alpha = \frac{b}{c}$. Beim Teilen kürzt sich die Hypotenuse $c$ heraus:

Beispiele

Für einen Winkel gilt $\sin \alpha = 0{,}6$ und $\cos \alpha = 0{,}8$:

Bei $45^\circ$ sind Sinus und Kosinus gleich, also:

Für $\alpha = 90^\circ$ ist $\cos 90^\circ = 0$. Der Tangens von $90^\circ$ existiert nicht; der Taschenrechner meldet einen Fehler.

Typische Fehler

• Den Bruch umdrehen: $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ ist der Kehrwert des Tangens, nicht der Tangens.
• Die Voraussetzung vergessen und $\tan 90^\circ$ berechnen wollen.
• Die Vorzeichen bei Winkeln über $90^\circ$ übersehen: Für $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ist $\sin \alpha$ positiv, $\cos \alpha$ aber negativ, also ist $\tan \alpha$ negativ.