Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Mittelstufe

\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Voraussetzung: $rechtwinkliges$ $Dreieck$ $,$ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$: einer der beiden spitzen Winkel des Dreiecks (nicht der rechte Winkel)
$\text{Ankathete}$: Kathete, die am Winkel α anliegt
$\text{Hypotenuse}$: längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α, hervorgehoben sind Ankathete und Hypotenuse

Erklärung

Der Kosinus eines spitzen Winkels $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. Die Ankathete ist die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel $\alpha$ einschließt. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

In der üblichen Bezeichnung mit $\gamma = 90^\circ$ gilt $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ und $\cos \beta = \frac{a}{c}$ .

Wie der Sinus liegt auch $\cos \alpha$ zwischen $0$ und $1$ . Umgestellt:

\text{Ankathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \cos \alpha \qquad \text{Hypotenuse} = \frac{\text{Ankathete}}{\cos \alpha}

Den Winkel erhält man mit $\cos^{-1}$ auf dem Taschenrechner.

Beispiele

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten $3\,\text{cm}$ , $4\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$ liegt am Winkel $\alpha$ die Kathete $4\,\text{cm}$ an:

\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ

Hypotenuse $12\,\text{cm}$ , Winkel $\alpha = 60^\circ$ . Gesucht ist die Ankathete:

\text{Ankathete} = 12\,\text{cm} \cdot \cos 60^\circ = 12\,\text{cm} \cdot 0{,}5 = 6\,\text{cm}

Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von $70^\circ$ . Wie weit steht ihr Fuß von der Wand entfernt? Die Leiter ist die Hypotenuse, der Abstand am Boden die Ankathete:

d = 5\,\text{m} \cdot \cos 70^\circ \approx 1{,}71\,\text{m}

Typische Fehler

Ankathete und Hypotenuse verwechseln. Beide liegen am Winkel $\alpha$ an, aber die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Sinus und Kosinus vertauschen: Für den Abstand am Boden im Leiterbeispiel braucht man $\cos 70^\circ$ , nicht $\sin 70^\circ$ .
Den Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) rechnen lassen: $\cos 60$ im Bogenmaß ist etwa $-0{,}95$ , nicht $0{,}5$ .

Kosinus im rechtwinkligen Dreieck