Dreiecksberechnung mit Sinus- und Kosinussatz (SSW-Fall)

Erklärung

Gegeben sind zwei Seiten $a$, $b$ und ein Winkel $\alpha$, der nicht zwischen ihnen liegt, sondern der Seite $a$ gegenüber. Dieser SSW-Fall ist der einzige, in dem ein Dreieck nicht immer eindeutig bestimmt ist.

Mit dem Sinussatz erhält man $\sin \beta$. Weil $\sin \beta = \sin(180^\circ - \beta)$ gilt, kommen zwei Winkel in Frage. Welche davon ein Dreieck ergeben, hängt von den Seiten ab:

• $a > b$: genau eine Lösung. $\beta$ ist spitz, der Wert vom Taschenrechner. Das ist der Kongruenzsatz SsW (der Winkel liegt der größeren Seite gegenüber).
• $a = b$: genau eine Lösung (gleichschenklig mit $\beta = \alpha$), falls $\alpha < 90^\circ$, sonst keine.
• $a < b$ und $\alpha < 90^\circ$:
  • $b \sin \alpha > a$: keine Lösung, denn $\sin \beta > 1$.
  • $b \sin \alpha = a$: genau eine Lösung mit $\beta = 90^\circ$.
  • $b \sin \alpha < a$: zwei Lösungen, $\beta_1$ und $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$.
• $a < b$ und $\alpha \ge 90^\circ$: keine Lösung.

Danach folgen $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$ und $c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Der Kosinussatz liefert $c$ direkt: Aus $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ wird eine quadratische Gleichung in $c$ mit der Lösung $c = b\cos\alpha \pm \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\alpha}$. Gültig sind nur positive Werte. Die Anzahl positiver Lösungen ist genau die Anzahl der Dreiecke.

Beispiele

Eine Lösung: $a = 8$, $b = 5$, $\alpha = 50^\circ$. Hier ist $a > b$.

$\gamma \approx 101{,}4^\circ$ und $c = \frac{8 \sin \gamma}{\sin 50^\circ} \approx 10{,}24$. Der Kosinussatz bestätigt das: Nur die Lösung mit $+$ ist positiv, $c \approx 10{,}24$.

Zwei Lösungen: $a = 6$, $b = 8$, $\alpha = 40^\circ$. Hier ist $b \sin \alpha \approx 5{,}14 < 6$.

Mit dem Kosinussatz: $c = 8\cos 40^\circ \pm \sqrt{36 - 64 \sin^2 40^\circ}$, also $c_1 \approx 9{,}22$ und $c_2 \approx 3{,}04$. Beide Dreiecke existieren.

Keine Lösung: $a = 3$, $b = 8$, $\alpha = 40^\circ$. Dann wäre $\sin \beta = \frac{8 \sin 40^\circ}{3} \approx 1{,}71 > 1$. Die Seite $a$ ist zu kurz, um die dritte Seite zu erreichen.

Typische Fehler

• Nur den Taschenrechnerwert $\beta_1$ nehmen und die zweite Lösung $180^\circ - \beta_1$ übersehen.
• Die zweite Lösung ungeprüft übernehmen. Bei $a \ge b$ ergibt $180^\circ - \beta_1$ zusammen mit $\alpha$ mindestens $180^\circ$ und ist kein Dreieck.
• Den Winkel der falschen Seite zuordnen: $\alpha$ muss der Seite $a$ gegenüberliegen.